Exercice 46

Si $\alpha \leqslant 0$, tous les termes valent au moins $1$, et la famille, infinie, n'est pas sommable. Supposons $\alpha > 0$. Par le théorème 9, on somme d'abord en $p$, pour $n \geqslant 2$ fixé : c'est une série géométrique de raison $n^{-\alpha} \in \,]0\,,1[$ (théorème 1), $$\sum_{p=2}^{+\infty} \frac{1}{n^{\alpha p}} = \frac{n^{-2\alpha}}{1 - n^{-\alpha}} = \frac{1}{n^{\alpha}(n^{\alpha} - 1)} \sim \frac{1}{n^{2\alpha}}.$$ Par les théorèmes 4 et 5, la série de ces sommes converge si et seulement si $2\alpha > 1$. $$\boxed{\Big(\frac{1}{n^{\alpha p}}\Big)_{n \geqslant 2,\, p \geqslant 2} \text{ est sommable} \iff \alpha > \frac{1}{2}}$$ Pour $\alpha = 1$, c'est, à l'échange des noms des indices près, la famille $\big(\frac{1}{k^{n}}\big)_{n \geqslant 2,\, k \geqslant 2}$ de l'exemple du cours, et l'on retrouve $\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n(n - 1)} = 1 = \sum_{n=2}^{+\infty} \big(\zeta(n) - 1\big)$. En sommant dans l'autre ordre, on obtient pour $\alpha > \frac{1}{2}$ l'identité $\sum_{p=2}^{+\infty} \big(\zeta(\alpha p) - 1\big) = \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n^{\alpha}(n^{\alpha} - 1)}$, où l'on note $\zeta(s) = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^{s}}$ pour $s > 1$.

À retenir. Le seuil $\alpha > \frac{1}{2}$ se lit sur la seule colonne $p = 2$, dont la somme est $\zeta(2\alpha) - 1$ : elle est finie si et seulement si $2\alpha > 1$, et les autres colonnes sont plus petites. Pour $\alpha \leqslant \frac{1}{2}$, l'identité précédente n'a plus de sens, puisque $\zeta(2\alpha)$ n'est pas défini.