Exercice 45

Les trois familles sont positives : on calcule leur somme dans $[0\,,+\infty]$, par paquets (théorème 8) ou par lignes (théorème 9), et la sommabilité se lit sur le résultat.

(a) On regroupe les couples selon la valeur de $k = n + m$. Le paquet $\{(n, m) \mid n + m = k\}$ contient les $k + 1$ couples $(n, k - n)$, $0 \leqslant n \leqslant k$, et la somme géométrique de raison $\frac{2}{3}$ (théorème 1) donne $$\sum_{n=0}^{k} \frac{2^{n}3^{k-n}}{k!} = \frac{3^{k}}{k!}\sum_{n=0}^{k} \Big(\frac{2}{3}\Big)^{n} = \frac{3^{k}}{k!} \cdot \frac{1 - (2/3)^{k+1}}{1/3} = \frac{3^{k+1} - 2^{k+1}}{k!}.$$ Par le théorème 8, puis le théorème 2 (série exponentielle) et la linéarité, les deux séries étant convergentes, $$\sum_{(n,m) \in \mathbb{N}^{2}} \frac{2^{n}3^{m}}{(n + m)!} = 3\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{3^{k}}{k!} - 2\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{2^{k}}{k!} = 3\mathrm{e}^{3} - 2\mathrm{e}^{2}.$$

$$\boxed{\text{la famille (a) est sommable, de somme } 3\mathrm{e}^{3} - 2\mathrm{e}^{2} \approx 45{,}478}$$ La somme des termes pour $n$, $m < 80$ redonne $45{,}478\,498\,57$ ✓.

(b) On somme par lignes (théorème 9). Pour $n \geqslant 1$ fixé, la ligne contient le terme $m = n + 1$, qui vaut $\frac{1}{(n + 1)^{2} - n^{2}} = \frac{1}{2n + 1}$ ; par positivité, la somme de la ligne est au moins $\frac{1}{2n + 1}$ (proposition 10 (iii)). Comme $\sum \frac{1}{2n + 1}$ diverge (théorème 4, $\frac{1}{2n + 1} \sim \frac{1}{2n}$), $$\sum_{\substack{(n,m) \in (\mathbb{N}^{*})^{2} \\ n \neq m}} \frac{1}{|n^{2} - m^{2}|} \geqslant \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2n + 1} = +\infty, \qquad \boxed{\text{la famille (b) n'est pas sommable}}$$ Chaque ligne est pourtant de somme finie, puisque ses termes sont équivalents à $\frac{1}{m^{2}}$ : c'est la somme des lignes qui diverge, comme dans la remarque de la section 20.6.4.

(c) Les rationnels $r_{q} = 1 + \frac{1}{q}$, pour $q \geqslant 1$, sont deux à deux distincts et appartiennent à $\mathbb{Q} \cap \,]1\,,2]$, donc vérifient $\frac{1}{r_{q}^{2}} \geqslant \frac{1}{4}$. Pour tout $N$, la partie finie $\{r_{1}, \dots, r_{N}\}$ donne une somme finie au moins égale à $\frac{N}{4}$ : la borne supérieure des sommes finies est $+\infty$. $$\boxed{\text{la famille (c) n'est pas sommable}}$$

Piège. Pour (c), l'erreur la plus répandue est de comparer avec la série $\sum \frac{1}{n^{2}}$, comme si les rationnels étaient espacés comme les entiers. Or ils s'accumulent : il y en a une infinité dans $]1\,,2]$, où le terme reste supérieur à $\frac{1}{4}$. En général, une famille positive sommable n'a, pour tout $\varepsilon > 0$, qu'un nombre fini de termes supérieurs à $\varepsilon$ : si $F$ est une partie finie de tels indices, $\varepsilon\,\operatorname{card} F \leqslant \sum_{F} u_{i} \leqslant \sum_{I} u_{i}$.