Exercice 44

1. Supposons que $\sum u_{n}^{+}$ converge. Comme $u_{n}^{-} = u_{n}^{+} - u_{n}$ et que $\sum u_{n}$ converge, la série $\sum u_{n}^{-}$ converge par linéarité (proposition 1), puis $\sum |u_{n}| = \sum (u_{n}^{+} + u_{n}^{-})$ aussi : la série serait absolument convergente, ce qui est exclu. De même, si $\sum u_{n}^{-}$ convergeait, $u_{n}^{+} = u_{n} + u_{n}^{-}$ donnerait la convergence de $\sum u_{n}^{+}$, puis celle de $\sum |u_{n}|$. $$\boxed{\sum\nolimits u_{n}^{+} \text{ et } \sum u_{n}^{-} \text{ divergent}}$$ Si $P$ était fini, $u_{n}^{+}$ serait nul à partir d'un certain rang, et $\sum u_{n}^{+}$ convergerait ; de même pour $N$ et $u_{n}^{-}$. Les ensembles $P$ et $N$ sont donc infinis. On note $p_{0} < p_{1} < \cdots$ les éléments de $P$ et $n_{0} < n_{1} < \cdots$ ceux de $N$, rangés dans l'ordre croissant. Les termes $u_{n}^{+}$ sont nuls hors de $P$ et valent $u_{p_{j}}$ en $p_{j}$ : par la proposition 10, $\sum_{j=0}^{+\infty} u_{p_{j}} = \sum_{n=0}^{+\infty} u_{n}^{+} = +\infty$, et de même $\sum_{j=0}^{+\infty} |u_{n_{j}}| = +\infty$. Retirer un nombre fini de termes ne change pas cette divergence. Enfin $u_{n}$ tend vers $0$, puisque la série converge (proposition 2).

2. La construction se formule ainsi : on note $T_{k} = \sum_{j=0}^{k-1} u_{\varphi(j)}$ la somme des termes déjà choisis ($T_{0} = 0$) ; si $T_{k} \leqslant S$, on prend pour $\varphi(k)$ le plus petit élément de $P$ non encore utilisé, et si $T_{k} > S$, le plus petit élément de $N$ non encore utilisé. C'est exactement la règle de l'énoncé.

La construction ne s'arrête jamais. Comme $P$ et $N$ sont infinis, il reste toujours des indices non utilisés dans chacun : $\varphi(k)$ est défini pour tout $k$.

On change de camp une infinité de fois. Supposons qu'à partir d'un rang $K$, on ne prenne plus que des indices de $P$. Ce sont alors les éléments consécutifs $p_{J}, p_{J+1}, \dots$ de $P$, et $T_{k} = T_{K} + \sum_{j=J}^{J + k - K - 1} u_{p_{j}}$ tend vers $+\infty$ par la question 1 ; mais on ne choisit un indice de $P$ que si $T_{k} \leqslant S$, ce qui est contradictoire. De même, si l'on ne prenait plus que des indices de $N$, on aurait $T_{k} > S$ pour tout $k \geqslant K$, alors que $T_{k}$ tend vers $-\infty$.

Bijectivité. L'application $\varphi$ est injective : un indice n'est jamais choisi deux fois, puisque l'on prend un indice non encore utilisé. Les indices de $P$ sont choisis dans l'ordre croissant, et une infinité le sont : le $j$-ième choisi est $p_{j}$, et tout élément de $P$ est atteint. De même pour $N$. Comme $P \cup N = \mathbb{N}$, l'application $\varphi$ est surjective. $$\boxed{\varphi \text{ est une bijection de } \mathbb{N} \text{ sur } \mathbb{N}}$$

3. Chaque terme rapproche de $S$, sauf au moment d'un franchissement. Soit $k \in \mathbb{N}$. Si $T_{k} \leqslant S$, on ajoute $u_{\varphi(k)} \geqslant 0$ ; si $T_{k} > S$, on ajoute $u_{\varphi(k)} < 0$. Dans les deux cas, si $T_{k}$ et $T_{k+1}$ sont du même côté de $S$ (au sens : tous deux $\leqslant S$, ou tous deux $> S$), alors $|T_{k+1} - S| \leqslant |T_{k} - S|$. S'ils sont de part et d'autre, on dit qu'il y a franchissement au rang $k + 1$ ; comme $S$ est alors compris entre $T_{k}$ et $T_{k+1} = T_{k} + u_{\varphi(k)}$, $$|T_{k+1} - S| \leqslant |u_{\varphi(k)}|.$$ Majoration de l'écart. Par la question 2, il y a une infinité de franchissements. Pour $k$ supérieur au premier rang de franchissement, on note $f(k) \leqslant k$ le dernier rang de franchissement inférieur ou égal à $k$. Entre $f(k)$ et $k$, il n'y a pas de franchissement, donc l'écart à $S$ ne fait que décroître : $$\boxed{|T_{k} - S| \leqslant |T_{f(k)} - S| \leqslant |u_{\varphi(f(k) - 1)}|}$$ Le terme $u_{\varphi(f(k) - 1)}$ est le dernier terme qui précède un changement de signe des termes choisis, comme le suggérait l'énoncé.

Passage à la limite. La suite $(f(k))$ est croissante au sens large et tend vers $+\infty$, puisque les franchissements sont en nombre infini. Il reste à voir que $u_{\varphi(m)}$ tend vers $0$ quand $m$ tend vers $+\infty$. Soit $\varepsilon > 0$ ; l'ensemble $A = \{n \mid |u_{n}| \geqslant \varepsilon\}$ est fini, puisque $u_{n} \to 0$, et son image réciproque $\varphi^{-1}(A)$ aussi, puisque $\varphi$ est injective : pour $m$ supérieur au plus grand élément de $\varphi^{-1}(A)$, $|u_{\varphi(m)}| < \varepsilon$. Ainsi $T_{k}$ tend vers $S$ : $$\boxed{\sum_{k=0}^{+\infty} u_{\varphi(k)} = S}$$

La figure montre les sommes $T_{k}$, pour $k$ de $1$ à $30$, lorsque l'on réordonne la série harmonique alternée $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \cdots$, de somme $\ln 2$, pour viser $S = 1{,}2$. Les points bleus sont sous la droite, et l'on y ajoute un terme positif ; les points ocre sont au-dessus, et l'on y ajoute un terme négatif. Les sauts au moment des franchissements, qui majorent l'écart à $S$, diminuent au fil des termes. L'ordre obtenu commence par $u_{0}, u_{2}, u_{1}, u_{4}, u_{6}, u_{8}, u_{3}, \dots$, et $T_{60\,000} \approx 1{,}199\,998$ ✓.

4. Pour $S = +\infty$, on vise des paliers croissants. On prend des indices de $P$, dans l'ordre croissant, jusqu'à ce que la somme dépasse strictement $1$, puis un seul indice de $N$ ; puis des indices de $P$ (éventuellement aucun) jusqu'à ce que la somme dépasse strictement $2$, puis un seul indice de $N$, et ainsi de suite, le palier $m$ étant suivi du palier $m + 1$.

Chaque phase positive s'achève, puisque les termes de $P$ restants ont une somme infinie (question 1). On prend un indice de $N$ par palier, donc une infinité ; et une infinité d'indices de $P$, sinon la somme ne ferait que décroître à partir d'un certain rang tout en devant dépasser chaque palier. Comme à la question 2, $\varphi$ est une bijection de $\mathbb{N}$ sur $\mathbb{N}$.

Soit $c = \sup_{n} |u_{n}|$, fini puisque $(u_{n})$ converge, et $m \geqslant 1$. Soit $k$ un rang postérieur au premier dépassement du palier $m$, et $m' \geqslant m$ le dernier palier dépassé avant le rang $k$. Si $T_{k}$ est la somme obtenue au moment de ce dépassement, $T_{k} > m'$. Sinon, $T_{k}$ s'obtient à partir de cette somme en ajoutant l'unique terme négatif $u_{n}$ du palier, puis des termes positifs : $T_{k} \geqslant m' + u_{n} \geqslant m' - c$. Dans tous les cas, $T_{k} \geqslant m - c$ pour $k$ assez grand, et ceci pour tout $m$ : $$\boxed{\sum_{k=0}^{+\infty} u_{\varphi(k)} = +\infty}$$ Le cas $S = -\infty$ s'en déduit en échangeant les rôles de $P$ et $N$.

À retenir. Toute la démonstration repose sur deux faits : les termes positifs et les termes négatifs ont chacun une somme infinie, ce qui permet de franchir $S$ aussi souvent qu'on le veut, et le terme général tend vers $0$, ce qui rend les franchissements de plus en plus fins. Pour une série absolument convergente, le premier fait tombe, et la proposition 13 (iv) du cours montre que l'ordre est alors indifférent.