Exercice 47

1. On considère la famille positive $\big(w_{p,n}\big)$ indexée par $(\mathbb{N}^{*})^{2}$, avec $w_{p,n} = \frac{p\,a_{n}}{n(n + 1)}$ si $p \leqslant n$ et $w_{p,n} = 0$ sinon. Le théorème 9 permet d'intervertir les sommes dans $[0\,,+\infty]$. En sommant d'abord en $n$, on trouve $\sum_{n} w_{p,n} = b_{p}$ ; en sommant d'abord en $p$, on trouve, pour $n$ fixé, $$\sum_{p=1}^{n} \frac{p\,a_{n}}{n(n + 1)} = \frac{a_{n}}{n(n + 1)} \cdot \frac{n(n + 1)}{2} = \frac{a_{n}}{2}.$$ Ainsi $\sum_{p} b_{p} = \frac{1}{2}\sum_{n} a_{n}$ dans $[0\,,+\infty]$ ; le second membre est fini, donc la série à termes positifs $\sum b_{p}$ converge (proposition 10 (ii)) : $$\boxed{\sum\nolimits b_{p} \text{ converge et } \sum_{p=1}^{+\infty} b_{p} = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}}$$ Pour $a_{n} = \frac{1}{n^{2}}$, on trouve numériquement $0{,}822\,467$, qui est bien $\frac{\pi^{2}}{12}$ ✓.

2. Le même échange, pour la famille positive $\big(\frac{1}{n^{p+1}}\big)_{1 \leqslant m \leqslant n}$, donne dans $[0\,,+\infty]$, puisque l'indice $m$ prend $n$ valeurs pour $n$ fixé, $$\sum_{m=1}^{+\infty}\,\sum_{n=m}^{+\infty} \frac{1}{n^{p+1}} = \sum_{n=1}^{+\infty}\,\sum_{m=1}^{n} \frac{1}{n^{p+1}} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{n^{p+1}}, \qquad \boxed{\sum_{m=1}^{+\infty}\,\sum_{n=m}^{+\infty} \frac{1}{n^{p+1}} = \zeta(p)}$$ qui est fini puisque $p \geqslant 2$ (théorème 5). Pour $p = 2$, on obtient $\frac{\pi^{2}}{6}$ par la proposition 8 ✓. Pour $p = 1$, le même calcul donne $+\infty$ : chaque reste $\sum_{n=m}^{+\infty} \frac{1}{n^{2}}$ est équivalent à $\frac{1}{m}$ (théorème 5), et leur somme diverge comme la série harmonique.