Exercice 48

Si $\alpha \leqslant 0$, on a $p^{\alpha} + q^{\alpha} \leqslant 2$, et tous les termes valent au moins $\frac{1}{2}$ : la famille n'est pas sommable. Supposons $\alpha > 0$, et notons $M = \max(p, q)$. Par croissance de $t \mapsto t^{\alpha}$, $$M^{\alpha} \leqslant p^{\alpha} + q^{\alpha} \leqslant 2M^{\alpha}, \qquad\text{donc}\qquad \frac{1}{2M^{\alpha}} \leqslant \frac{1}{p^{\alpha} + q^{\alpha}} \leqslant \frac{1}{M^{\alpha}}.$$ Pour $N \geqslant 1$, le paquet $J_{N} = \{(p, q) \mid \max(p, q) = N\}$ contient $2N - 1$ couples : les $N$ couples $(N, q)$ avec $q \leqslant N$ et les $N - 1$ couples $(p, N)$ avec $p < N$.

Les points bleus sont les indices $(p, q)$, et chaque équerre ocre réunit les $2N - 1$ indices du paquet $\max(p, q) = N$ ; on y lit que le paquet $N = 4$ compte $4 + 3 = 7$ couples. Sur chaque équerre, le terme général est comparable à $\frac{1}{N^{\alpha}}$, à un facteur $2$ près.

Par le théorème 8 et la croissance (proposition 10 (iii)), la somme de la famille est comprise, dans $[0\,,+\infty]$, entre $$\sum_{N=1}^{+\infty} \frac{2N - 1}{2N^{\alpha}} \qquad\text{et}\qquad \sum_{N=1}^{+\infty} \frac{2N - 1}{N^{\alpha}}.$$ Ces deux séries ont pour terme général un équivalent de $\frac{1}{N^{\alpha - 1}}$ et $\frac{2}{N^{\alpha - 1}}$ : elles convergent si et seulement si $\alpha - 1 > 1$ (théorèmes 4 et 5). $$\boxed{\Big(\frac{1}{p^{\alpha} + q^{\alpha}}\Big)_{(p,q) \in (\mathbb{N}^{*})^{2}} \text{ est sommable} \iff \alpha > 2}$$ On retrouve le seuil de la famille $\big(\frac{1}{(p + q)^{\alpha}}\big)$ de la section 20.6.4, et ce n'est pas un hasard : on a $M \leqslant p + q \leqslant 2M$, et les trois quantités $p^{\alpha} + q^{\alpha}$, $(p + q)^{\alpha}$ et $\max(p, q)^{\alpha}$ sont comparables à des constantes près. En dimension deux, le nombre d'indices « à distance $N$ » de l'origine croît comme $N$, d'où le seuil $2$ au lieu de $1$.