Exercice 49

On regroupe les couples $(p, q) \in (\mathbb{N}^{*})^{2}$ selon la valeur de $d = p \wedge q \geqslant 1$, en notant $I_{d}$ le paquet correspondant. Si $p \wedge q = d$, on écrit $p = dp'$ et $q = dq'$, et la proposition 5 du chapitre 12 donne $d = d(p' \wedge q')$, soit $p' \wedge q' = 1$. Réciproquement, si $p' \wedge q' = 1$, alors $(dp') \wedge (dq') = d$. L'application $(p', q') \mapsto (dp', dq')$ est donc une bijection de $I_{1}$ sur $I_{d}$, et, par la proposition 10 (iv) et la proposition 11, la somme de la famille sur $I_{d}$ vaut $$\sum_{(p, q) \in I_{d}} \frac{1}{p^{2}q^{2}} = \sum_{(p', q') \in I_{1}} \frac{1}{d^{4}p'^{2}q'^{2}} = \frac{S}{d^{4}}, \qquad\text{où}\qquad S = \sum_{\substack{(p,q) \in (\mathbb{N}^{*})^{2} \\ p \wedge q = 1}} \frac{1}{p^{2}q^{2}}.$$ La somme sur $(\mathbb{N}^{*})^{2}$ entier vaut $\zeta(2)^{2}$ (premier exemple de la méthode de la section 20.6.3). Par le théorème 8, dans $[0\,,+\infty]$, $$\zeta(2)^{2} = \sum_{d=1}^{+\infty} \frac{S}{d^{4}} = S\,\zeta(4).$$ Le réel $S$ est fini, puisque $S \leqslant \zeta(2)^{2}$ par la proposition 10 (iii), et l'on peut diviser par $\zeta(4) > 0$ : $$\boxed{S = \frac{\zeta(2)^{2}}{\zeta(4)}} \qquad\text{et, avec } \zeta(2) = \frac{\pi^{2}}{6},\ \zeta(4) = \frac{\pi^{4}}{90} : \qquad \boxed{S = \frac{\pi^{4}/36}{\pi^{4}/90} = \frac{5}{2}}$$ La somme des termes pour $p$, $q \leqslant 3\,000$ vaut $2{,}4991$ ✓. Le résultat se lit ainsi : les couples premiers entre eux portent la fraction $\frac{1}{\zeta(4)} = \frac{90}{\pi^{4}} \approx 0{,}924$ de la masse totale $\zeta(2)^{2}$, beaucoup plus que la proportion $\frac{6}{\pi^{2}} \approx 0{,}61$ de couples premiers entre eux que l'exercice 60, plus loin, établira, parce que les poids $\frac{1}{p^{2}q^{2}}$ privilégient les petits entiers, qui sont souvent premiers entre eux.