Exercice 40

1. Soit $g(t) = \frac{\ln t}{t}$ sur $[1\,,+\infty[$, de dérivée $g'(t) = \frac{1 - \ln t}{t^{2}}$, négative pour $t \geqslant \mathrm{e}$. La suite $\big(\frac{\ln n}{n}\big)_{n \geqslant 3}$ est donc décroissante, et elle tend vers $0$ par croissances comparées. Le théorème 7, appliqué à partir du rang $3$, donne $$\boxed{\sum\nolimits_{n \geqslant 1} (-1)^{n}\frac{\ln n}{n} \text{ converge}}$$ Elle n'est pas absolument convergente, puisque $\frac{\ln n}{n} \geqslant \frac{1}{n}$ pour $n \geqslant 3$.

2. La fonction $g$ est continue, positive et décroissante sur $[3\,,+\infty[$. Pour calculer son intégrale, on reconnaît la forme $u'u$ avec $u = \ln$, de primitive $\frac{u^{2}}{2}$ : $$\int_{3}^{n} \frac{\ln t}{t}\,\mathrm{d} t = \frac{(\ln n)^{2}}{2} - \frac{(\ln 3)^{2}}{2}.$$ Par la proposition 6 (iii), avec $n_{0} = 3$, la suite $w_{n} = \sum_{k=3}^{n} \frac{\ln k}{k} - \int_{3}^{n} g$ converge vers un réel $w$. Comme le terme d'indice $1$ est nul, $$\sum_{k=1}^{n} \frac{\ln k}{k} = \frac{\ln 2}{2} + w_{n} + \frac{(\ln n)^{2}}{2} - \frac{(\ln 3)^{2}}{2}, \qquad \boxed{\sum_{k=1}^{n} \frac{\ln k}{k} = \frac{(\ln n)^{2}}{2} + C + o(1)}$$ avec $C = \frac{\ln 2}{2} - \frac{(\ln 3)^{2}}{2} + w$. Numériquement, $C \approx -0{,}0728$ ; la valeur de $C$ n'interviendra pas.

3. On note $L_{m} = \sum_{k=1}^{m} \frac{\ln k}{k}$. Dans la somme partielle d'indice $2n$, les termes d'indice pair, $k = 2j$, sont comptés positivement et les autres négativement ; on les ajoute deux fois et on les retranche une fois : $$\sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k}\frac{\ln k}{k} = 2\sum_{j=1}^{n} \frac{\ln(2j)}{2j} - L_{2n} = \sum_{j=1}^{n} \frac{\ln 2 + \ln j}{j} - L_{2n}, \qquad \boxed{\sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k}\frac{\ln k}{k} = H_{n}\ln 2 + L_{n} - L_{2n}}$$ Par la question 2, puis la proposition 7, $H_{n} = \ln n + \gamma + o(1)$, $$L_{n} - L_{2n} = \frac{(\ln n)^{2} - (\ln 2 + \ln n)^{2}}{2} + o(1) = -\ln 2\ln n - \frac{(\ln 2)^{2}}{2} + o(1),$$

$$H_{n}\ln 2 + L_{n} - L_{2n} = \gamma\ln 2 - \frac{(\ln 2)^{2}}{2} + o(1).$$ La constante $C$ et les termes en $\ln n$ disparaissent. La série converge par la question 1 ; sa somme est la limite de la suite extraite des sommes partielles d'indice pair : $$\boxed{\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n}\frac{\ln n}{n} = \gamma\ln 2 - \frac{(\ln 2)^{2}}{2} \approx 0{,}159\,869}$$ Une sommation numérique accélérée redonne cette valeur à $10^{-25}$ près ✓.

Piège. La limite de $(S_{2n})$ ne suffit pas à elle seule : la suite $(S_{2n})$ peut converger sans que la série converge, comme pour $\sum (-1)^{n}$. C'est la question 1 qui permet de conclure, en garantissant que toute la suite $(S_{n})$ converge. Le calcul suit le même schéma que pour la série harmonique alternée, dont la somme partielle $S_{2n} = H_{2n} - H_{n}$ s'obtient aussi en séparant les indices pairs et impairs, et tend vers $\ln 2$ par la remarque qui suit la proposition 7.