Exercice 41

1. On écrit $\frac{1}{k}$ comme l'intégrale de $t^{k-1}$ sur $[0\,,1]$ et l'on somme une progression géométrique ; l'intégrale obtenue s'estime ensuite par une intégration par parties. Pour $t \in [0\,,1]$, la somme géométrique de raison $-t \neq 1$ donne $$\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}t^{k-1} = \frac{1 - (-t)^{n}}{1 + t}.$$ On intègre sur $[0\,,1]$, par linéarité, avec $\int_{0}^{1} t^{k-1}\,\mathrm{d} t = \frac{1}{k}$ et $\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} t}{1 + t} = \ln 2$ : $$S_{n} = \ln 2 - (-1)^{n}\int_{0}^{1} \frac{t^{n}}{1 + t}\,\mathrm{d} t, \qquad\text{soit}\qquad \boxed{R_{n} = (-1)^{n}I_{n}, \quad I_{n} = \int_{0}^{1} \frac{t^{n}}{1 + t}\,\mathrm{d} t}$$ On intègre par parties, en primitivant $t^{n}$ en $\frac{t^{n+1}}{n + 1}$ et en dérivant $\frac{1}{1 + t}$, les deux fonctions étant de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $[0\,,1]$ : $$I_{n} = \Big[\frac{t^{n+1}}{(n + 1)(1 + t)}\Big]_{0}^{1} + \frac{1}{n + 1}\int_{0}^{1} \frac{t^{n+1}\,\mathrm{d} t}{(1 + t)^{2}} = \frac{1}{2(n + 1)} + \frac{J_{n}}{n + 1}, \qquad J_{n} = \int_{0}^{1} \frac{t^{n+1}\,\mathrm{d} t}{(1 + t)^{2}},$$ où l'intégrale $J_{n}$ est encadrée par croissance de l'intégrale, puisque $\frac{1}{(1 + t)^{2}} \in [0\,,1]$ : $$0 \leqslant J_{n} \leqslant \int_{0}^{1} t^{n+1}\,\mathrm{d} t = \frac{1}{n + 2}, \qquad \frac{J_{n}}{n + 1} = O\Big(\frac{1}{n^{2}}\Big), \qquad \frac{1}{2(n + 1)} = \frac{1}{2n} - \frac{1}{2n(n + 1)}.$$ On en déduit : $$\boxed{I_{n} = \frac{1}{2n} + O\Big(\frac{1}{n^{2}}\Big), \qquad R_{n} = \frac{(-1)^{n}}{2n} + O\Big(\frac{1}{n^{2}}\Big)}$$ On contrôle : $n^{2}\big(I_{n} - \frac{1}{2n}\big) \approx -0{,}2500$ pour $n = 1\,000$ ✓.

2. Comme $S_{n} = \ln 2 - R_{n}$, on a $\exp(S_{n}) = 2\mathrm{e}^{-R_{n}}$, et $$2 - \exp(S_{n}) = 2\big(1 - \mathrm{e}^{-R_{n}}\big).$$ Comme $R_{n}$ tend vers $0$, le développement $1 - \mathrm{e}^{-x} = x + O(x^{2})$ (chapitre 10, théorème 5) et $R_{n} = O\big(\frac{1}{n}\big)$ donnent $$2 - \exp(S_{n}) = 2R_{n} + O(R_{n}^{2}) = \frac{(-1)^{n}}{n} + O\Big(\frac{1}{n^{2}}\Big).$$ La série $\sum \frac{(-1)^{n}}{n}$ converge (théorème 7) et le reste est le terme général d'une série absolument convergente (proposition 9). Enfin $|2 - \exp(S_{n})| \sim \frac{1}{n}$ : la convergence n'est pas absolue. $$\boxed{\sum\nolimits_{n \geqslant 1} \big(2 - \exp(S_{n})\big) \text{ est semi-convergente}}$$ Ses sommes partielles d'indices $10^{5}$ et $10^{6}$ valent $-0{,}607\,80$ et $-0{,}607\,80$ ✓.

À retenir. La seule majoration $|R_{n}| \leqslant \frac{1}{n + 1}$ du théorème 7 (ii) ne suffisait pas : elle montre seulement que le terme général est un $O\big(\frac{1}{n}\big)$, ce qui ne décide de rien. Il fallait le signe du reste, que donne aussi le théorème 7, et surtout son équivalent $\frac{1}{2n}$ avec un reste en $O\big(\frac{1}{n^{2}}\big)$, que fournit la représentation intégrale.