Exercice 42

1. On pose $V_{-1} = 0$, de sorte que $v_{k} = V_{k} - V_{k-1}$ pour tout $k \in \mathbb{N}$. On développe, puis on décale l'indice dans la seconde somme : $$\sum_{k=0}^{n} u_{k}v_{k} = \sum_{k=0}^{n} u_{k}V_{k} - \sum_{k=0}^{n} u_{k}V_{k-1} = \sum_{k=0}^{n} u_{k}V_{k} - \sum_{k=0}^{n-1} u_{k+1}V_{k}.$$ On ajoute et on retranche $u_{n+1}V_{n}$, ce qui complète la seconde somme jusqu'à $k = n$ : $$\boxed{\sum_{k=0}^{n} u_{k}v_{k} = u_{n+1}V_{n} - \sum_{k=0}^{n} (u_{k+1} - u_{k})V_{k}}$$ C'est l'analogue discret de l'intégration par parties : $V$ joue le rôle d'une primitive de $v$, et $u_{k+1} - u_{k}$ celui de la dérivée de $u$.

2. Soit $(a_{n})$ décroissante de limite nulle, donc positive. On applique la question 1 avec $u_{k} = a_{k}$ et $v_{k} = (-1)^{k}$ : $V_{k}$ vaut $1$ si $k$ est pair et $0$ sinon, donc $0 \leqslant V_{k} \leqslant 1$. Le terme $a_{n+1}V_{n}$ tend vers $0$. Pour la somme, $|(a_{k+1} - a_{k})V_{k}| \leqslant a_{k} - a_{k+1}$, et la série télescopique $\sum (a_{k} - a_{k+1})$, à termes positifs, converge (proposition 4), puisque $(a_{n})$ converge. La série $\sum (a_{k+1} - a_{k})V_{k}$ est donc absolument convergente (théorème 3), donc convergente (théorème 6). Les deux termes du membre de droite ont une limite : $$\boxed{\sum\nolimits (-1)^{n}a_{n} \text{ converge}}$$ Cette démonstration ne donne ni l'encadrement de la somme ni le signe du reste du théorème 7 : elle ne remplace que la partie « convergence ».

3. Soit $M$ un majorant de $(|V_{n}|)$. La suite réelle $(u_{n})$ décroît vers $0$, donc $u_{k} - u_{k+1} \geqslant 0$. Le terme $u_{n+1}V_{n}$, produit d'une suite bornée et d'une suite de limite nulle, tend vers $0$. Enfin $$\big|(u_{k+1} - u_{k})V_{k}\big| \leqslant M(u_{k} - u_{k+1}),$$ terme général d'une série convergente, comme à la question 2. La transformation d'Abel conclut : $$\boxed{(u_{n}) \text{ décroissante de limite nulle et } (V_{n}) \text{ bornée} \implies \sum\nolimits u_{n}v_{n} \text{ converge}}$$

4. On distingue trois cas selon $\alpha$.

• Si $\alpha \leqslant 0$, le terme général a pour module $n^{-\alpha} \geqslant 1$ : divergence grossière.

• Si $\alpha > 1$, la série converge absolument (exemple qui suit la proposition 9).

• Si $0 < \alpha \leqslant 1$ et $\theta \in 2\pi\mathbb{Z}$, le terme vaut $\frac{1}{n^{\alpha}}$, et la série diverge (théorème 5). Si $0 < \alpha \leqslant 1$ et $\theta \notin 2\pi\mathbb{Z}$, alors $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} \neq 1$, et la somme géométrique (chapitre 4, factorisation par l'angle moitié) donne $$\Big|\sum_{k=1}^{n} \mathrm{e}^{\mathrm{i} k\theta}\Big| = \Big|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\,\frac{1 - \mathrm{e}^{\mathrm{i} n\theta}}{1 - \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}}\Big| \leqslant \frac{2}{|1 - \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}|} = \frac{1}{|\sin(\theta/2)|}.$$ Les sommes partielles de $(\mathrm{e}^{\mathrm{i} n\theta})_{n \geqslant 1}$ sont bornées et $\big(\frac{1}{n^{\alpha}}\big)_{n \geqslant 1}$ décroît vers $0$ : la question 3, appliquée aux suites $u_{k} = \frac{1}{(k + 1)^{\alpha}}$ et $v_{k} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}(k+1)\theta}$, donne la convergence. Elle n'est pas absolue, puisque le module du terme vaut $\frac{1}{n^{\alpha}}$.

$$\boxed{\sum\nolimits_{n \geqslant 1} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} n\theta}}{n^{\alpha}} \text{ converge} \iff \alpha > 1, \text{ ou } 0 < \alpha \leqslant 1 \text{ et } \theta \notin 2\pi\mathbb{Z} \text{ (semi-convergence)}}$$ Pour $\theta = 1$, la plus grande valeur de $\big|\sum_{k=1}^{n} \mathrm{e}^{\mathrm{i} k}\big|$ pour $n < 2\,000$ vaut $2{,}085\,83$, et la borne $\frac{1}{\sin(1/2)}$ vaut $2{,}085\,83$ : la majoration est presque atteinte ✓.

5. Comme $0 < 1 < 2\pi$, on a $1 \notin 2\pi\mathbb{Z}$, et la série $\sum \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} n}}{n}$ converge par la question 4. Ses parties réelle et imaginaire convergent donc (proposition 1 (iii)) : les séries $\sum \frac{\cos n}{n}$ et $\sum \frac{\sin n}{n}$ convergent.

Pour les valeurs absolues, on utilise $|\cos n| \leqslant 1$, qui donne $|\cos n| \geqslant \cos^{2}n$, puis la linéarisation de $\cos^{2}n$ : $$\frac{|\cos n|}{n} \geqslant \frac{\cos^{2}n}{n} = \frac{1}{2n} + \frac{\cos(2n)}{2n}.$$ La série $\sum \frac{\cos(2n)}{2n}$ converge, par la question 4 avec $\theta = 2 \notin 2\pi\mathbb{Z}$, et la série $\sum \frac{1}{2n}$ diverge : leur somme diverge, et, comme elle est à termes positifs, la série $\sum \frac{|\cos n|}{n}$ diverge par le théorème 3. De même, $|\sin n| \geqslant \sin^{2}n = \frac{1 - \cos(2n)}{2}$ donne la divergence de $\sum \frac{|\sin n|}{n}$. $$\boxed{\sum\nolimits \frac{\cos n}{n} \text{ et } \sum \frac{\sin n}{n} \text{ convergent}, \quad \sum \frac{|\cos n|}{n} \text{ et } \sum \frac{|\sin n|}{n} \text{ divergent}}$$

Piège. L'erreur la plus répandue est de minorer $|\cos n|$ par une constante strictement positive, ce qui est faux, puisque $\cos n$ s'approche de $0$ pour une infinité d'entiers. Le passage par $\cos^{2}n$ contourne la difficulté : il remplace une minoration ponctuelle, impossible, par une minoration en moyenne, le terme $\cos(2n)$ ayant des sommes partielles bornées. On a ainsi deux nouvelles séries semi-convergentes, qui ne sont pas alternées : la transformation d'Abel étend le théorème 7 au-delà des signes alternés.