Exercice 18

On note $S_{n} = \sum_{k=1}^{n} u_{k}$ et $S = \sum_{k=1}^{+\infty} u_{k}$.

1. Soit $n \geqslant 1$. Par décroissance, chacun des $n$ termes $u_{n+1}$, …, $u_{2n}$ est au moins égal au dernier, $u_{2n}$ : $$0 \leqslant nu_{2n} \leqslant \sum_{k=n+1}^{2n} u_{k} = S_{2n} - S_{n}.$$ Comme $(S_{2n})$ et $(S_{n})$ tendent toutes deux vers $S$ (chapitre 7, proposition 11 (i)), le majorant tend vers $0$, et la suite $(2nu_{2n})$ aussi. Pour les indices impairs, la décroissance donne $$0 \leqslant (2n + 1)u_{2n+1} \leqslant (2n + 1)u_{2n} = \frac{2n + 1}{2n} \cdot 2nu_{2n},$$ qui tend aussi vers $0$. Les deux suites extraites d'indices pairs et impairs tendent vers $0$ (chapitre 7, proposition 11 (ii)). $$\boxed{\lim_{n \to +\infty} nu_{n} = 0, \quad\text{c'est-à-dire}\quad u_{n} = o\Big(\frac{1}{n}\Big)}$$

Pour $n = 4$ et $u_{k} = \frac{10}{(k + 2)^{3/2}}$, la barre d'indice $k$ a pour hauteur $u_{k}$. Les quatre barres foncées, d'indices $5$ à $8$, ont une aire totale $S_{8} - S_{4}$ au moins égale à celle du rectangle hachuré, de hauteur $u_{8}$ et de largeur $4$ : c'est la minoration $nu_{2n} \leqslant S_{2n} - S_{n}$, qui n'utilise que la décroissance.

2. La suite $(u_{n})$ de l'exercice 8 est positive, et la série $\sum u_{n}$ converge ; mais $nu_{n} = 1$ lorsque $n$ est un carré, et $(nu_{n})$ ne tend pas vers $0$. Cette suite n'est pas décroissante : $u_{3} = \frac{1}{9} < u_{4} = \frac{1}{4}$. $$\boxed{\text{Sans décroissance, } \sum u_{n} \text{ peut converger sans que } nu_{n} \to 0 \text{ (exercice 8)}}$$ Dans la question 1, c'est la décroissance qui transmet l'information « la somme des termes de $n + 1$ à $2n$ est petite » à chaque terme ; à l'exercice 8, le terme $u_{k^{2}} = \frac{1}{k^{2}}$ est seul de sa taille dans son paquet.

3. Les termes $n(u_{n} - u_{n+1})$ sont positifs, par décroissance. Pour $N \geqslant 1$, on sépare la somme en deux et l'on décale l'indice dans la seconde ($m = n + 1$) : $$\sum_{n=1}^{N} n(u_{n} - u_{n+1}) = \sum_{n=1}^{N} nu_{n} - \sum_{m=2}^{N + 1} (m - 1)u_{m} = \sum_{n=1}^{N} u_{n} - Nu_{N+1},$$ puisque, pour $2 \leqslant m \leqslant N$, $mu_{m} - (m - 1)u_{m} = u_{m}$, que le terme $n = 1$ vaut $u_{1}$, et qu'il reste $-Nu_{N+1}$. Par la question 1, $Nu_{N+1} = \frac{N}{N + 1}(N + 1)u_{N+1}$ tend vers $0$, donc les sommes partielles tendent vers $S$. $$\boxed{\sum n(u_{n} - u_{n+1}) \text{ converge, et } \sum_{n=1}^{+\infty} n(u_{n} - u_{n+1}) = \sum_{n=1}^{+\infty} u_{n}}$$ Pour $u_{n} = \frac{1}{n^{2}}$, on a $n(u_{n} - u_{n+1}) = \frac{2n + 1}{n(n + 1)^{2}}$, et la somme de cette série vaut donc $\frac{\pi^{2}}{6}$, ce que confirme le calcul numérique ✓.

À retenir. Le calcul de la question 3 est une « intégration par parties discrète », appelée transformation d'Abel : il fait passer la différence de $u$ sur le facteur $n$, au prix d'un terme de bord $Nu_{N+1}$, et c'est la question 1 qui l'élimine. On voit ainsi que les deux questions ne sont pas indépendantes : sans le résultat $nu_{n} \to 0$, l'égalité des deux sommes pourrait être fausse. Réciproquement, si $(u_{n})$ décroît vers $0$ et si $\sum n(u_{n} - u_{n+1})$ converge, alors $\sum u_{n}$ converge : par la proposition 4, $u_{N} = \sum_{n=N}^{+\infty} (u_{n} - u_{n+1})$, donc $Nu_{N} \leqslant \sum_{n=N}^{+\infty} n(u_{n} - u_{n+1})$, reste d'une série convergente, qui tend vers $0$ (proposition 3), et l'identité de la question 3 conclut.