Exercice 17

1. Pour deux réels positifs $x$ et $y$, l'inégalité $\big(\sqrt{x} - \sqrt{y}\big)^{2} \geqslant 0$ donne $\sqrt{xy} \leqslant \frac{x + y}{2}$. Ainsi $$0 \leqslant \sqrt{a_{n}a_{n+1}} \leqslant \frac{a_{n} + a_{n+1}}{2}.$$ Si $\sum a_{n}$ converge, la série $\sum a_{n+1}$ aussi, puisqu'elle n'en diffère que par le premier terme, et la série de terme général $\frac{a_{n} + a_{n+1}}{2}$ converge par la proposition 1 (i). Le théorème 3 conclut. $$\boxed{\sum a_{n} \text{ converge} \implies \sum \sqrt{a_{n}a_{n+1}} \text{ converge}}$$

2. Si $(a_{n})$ est décroissante, alors $a_{n} \geqslant a_{n+1} \geqslant 0$, donc $\sqrt{a_{n}a_{n+1}} \geqslant \sqrt{a_{n+1}^{2}} = a_{n+1}$. Si $\sum \sqrt{a_{n}a_{n+1}}$ converge, le théorème 3 donne la convergence de $\sum a_{n+1}$, donc de $\sum a_{n}$. $$\boxed{(a_{n}) \text{ décroissante} : \ \sum \sqrt{a_{n}a_{n+1}} \text{ converge} \implies \sum a_{n} \text{ converge}}$$ Sans la décroissance, il suffit qu'un terme sur deux soit nul : avec $a_{2k} = 1$ et $a_{2k+1} = 0$, on a $\sqrt{a_{n}a_{n+1}} = 0$ pour tout $n$, alors que $\sum a_{n}$ diverge grossièrement. $$\boxed{a_{n} = \frac{1 + (-1)^{n}}{2} : \ \sum \sqrt{a_{n}a_{n+1}} = \sum 0 \text{ converge}, \ \sum a_{n} \text{ diverge}}$$ L'exemple ne tient pas à la présence de termes nuls : avec $a_{2k} = 1$ et $a_{2k+1} = \frac{1}{(k + 1)^{4}}$, tous strictement positifs, on trouve $\sqrt{a_{2k}a_{2k+1}} = \frac{1}{(k + 1)^{2}}$ et $\sqrt{a_{2k+1}a_{2k+2}} = \frac{1}{(k + 1)^{2}}$, et la série des moyennes géométriques converge encore.

À retenir. La moyenne géométrique de deux termes voisins est contrôlée par le plus petit des deux ; elle ne voit pas un grand terme isolé, à moins que la monotonie n'empêche les termes voisins d'être très différents. C'est le même phénomène qu'à l'exercice 8 : une série peut contenir des termes « anormalement grands », pourvu qu'ils soient rares ou compensés.