Exercice 19

1. La suite $(a_{n})$ décroît vers $0$ : ses termes sont positifs, et les deux séries sont à termes positifs. On découpe $\mathbb{N}^{*}$ en blocs dyadiques $[\![2^{p}\,;2^{p+1} - 1]\!]$, qui contiennent chacun $2^{p}$ entiers. Sur le bloc d'indice $p$, la décroissance donne $a_{2^{p+1}} \leqslant a_{n} \leqslant a_{2^{p}}$, d'où, en sommant les $2^{p}$ termes, $$2^{p}a_{2^{p+1}} \leqslant \sum_{n=2^{p}}^{2^{p+1} - 1} a_{n} \leqslant 2^{p}a_{2^{p}}.$$ On note $S_{N} = \sum_{n=1}^{N} a_{n}$ et $T_{P} = \sum_{p=0}^{P} 2^{p}a_{2^{p}}$. En sommant ces encadrements pour $p$ allant de $0$ à $P$, la relation de Chasles donne $$\frac{1}{2}\big(T_{P+1} - a_{1}\big) = \frac{1}{2}\sum_{p=0}^{P} 2^{p+1}a_{2^{p+1}} \leqslant S_{2^{P+1} - 1} \leqslant T_{P}.$$ Si $\sum 2^{p}a_{2^{p}}$ converge, ses sommes partielles sont majorées par un réel $M$ (proposition 5). Tout entier $N$ vérifie $N \leqslant 2^{P+1} - 1$ pour un $P$ convenable, et la suite $(S_{N})$ est croissante, donc $$S_{N} \leqslant S_{2^{P+1} - 1} \leqslant T_{P} \leqslant M \, ;$$ la série $\sum a_{n}$ converge par la proposition 5. Réciproquement, si $\sum a_{n}$ converge, de somme $S$, l'inégalité de gauche donne $T_{P+1} \leqslant a_{1} + 2S$ pour tout $P$, et $\sum 2^{p}a_{2^{p}}$ converge. $$\boxed{\sum_{n \geqslant 1} a_{n} \ \text{ et } \ \sum_{p \geqslant 0} 2^{p}a_{2^{p}} \ \text{ sont de même nature}}$$ Le résultat subsiste si $(a_{n})$ n'est décroissante qu'à partir d'un rang $n_{0}$ : on ne somme alors les encadrements que pour $2^{p} \geqslant n_{0}$, et les termes laissés de côté, en nombre fini, ne changent la nature d'aucune des deux séries. C'est sous cette forme qu'on l'emploie dans la question suivante.

2. Séries de Riemann. Si $\alpha \leqslant 0$, le terme $\frac{1}{n^{\alpha}}$ ne tend pas vers $0$, et la série diverge grossièrement. Si $\alpha > 0$, la suite $a_{n} = \frac{1}{n^{\alpha}}$ décroît vers $0$, et la série condensée a pour terme général $$2^{p}a_{2^{p}} = \frac{2^{p}}{2^{p\alpha}} = \big(2^{1 - \alpha}\big)^{p}.$$ C'est une série géométrique, convergente si et seulement si $2^{1 - \alpha} < 1$, c'est-à-dire $\alpha > 1$ (théorème 1). $$\boxed{\sum \frac{1}{n^{\alpha}} \text{ converge} \iff \alpha > 1}$$ On retrouve le théorème 5 sans aucune intégrale : la condensation remplace la comparaison avec $\int_{1}^{n} \frac{\mathrm{d} t}{t^{\alpha}}$ par une comparaison avec une série géométrique.

La série $\sum \frac{1}{n\ln n\,(\ln\ln n)^{\alpha}}$. Pour $t \geqslant 3$, on a $\ln\ln t > 0$. Le logarithme du dénominateur est la fonction $g$ définie par $$g(t) = \ln t + \ln\ln t + \alpha\ln\ln\ln t, \qquad g'(t) = \frac{1}{t}\Big(1 + \frac{1}{\ln t} + \frac{\alpha}{\ln t\,\ln\ln t}\Big),$$ et sa dérivée est strictement positive pour $t$ assez grand, quel que soit le signe de $\alpha$, puisque la parenthèse tend vers $1$. Le terme $a_{n} = \frac{1}{n\ln n\,(\ln\ln n)^{\alpha}}$ décroît donc à partir d'un certain rang, et il tend vers $0$, car $\ln(n\ln n\,(\ln\ln n)^{\alpha}) = g(n) \sim \ln n$ tend vers $+\infty$. La question 1 s'applique (on attribue à $a_{1}$ et $a_{2}$ des valeurs positives quelconques). Pour $p \geqslant 2$, on a $\ln 2^{p} = p\ln 2$ et $$2^{p}a_{2^{p}} = \frac{2^{p}}{2^{p} \cdot p\ln 2 \cdot \big(\ln p + \ln\ln 2\big)^{\alpha}} \sim \frac{1}{\ln 2} \cdot \frac{1}{p\,(\ln p)^{\alpha}},$$ puisque $\ln p + \ln\ln 2 \sim \ln p$ et que l'on peut élever un équivalent à la puissance $\alpha$ (chapitre 10, théorème 1). Par le théorème 4, la série condensée a la nature de $\sum_{p \geqslant 2} \frac{1}{p\,(\ln p)^{\alpha}}$, que l'on condense à son tour : son terme est décroissant à partir d'un certain rang (même calcul de dérivée) et tend vers $0$, et pour $q \geqslant 1$, $$2^{q} \cdot \frac{1}{2^{q}\,(\ln 2^{q})^{\alpha}} = \frac{1}{(\ln 2)^{\alpha}} \cdot \frac{1}{q^{\alpha}},$$ terme d'une série de Riemann, convergente si et seulement si $\alpha > 1$. $$\boxed{\sum_{n \geqslant 3} \frac{1}{n\ln n\,(\ln\ln n)^{\alpha}} \text{ converge} \iff \alpha > 1, \qquad \sum_{p \geqslant 2} \frac{1}{p\,(\ln p)^{\alpha}} \text{ converge} \iff \alpha > 1}$$ Chaque condensation « enlève un logarithme » : $n$ devient $2^{p}$, $\ln n$ devient $p\ln 2$, $\ln\ln n$ devient $\ln p$ à une constante près. Pour $\alpha = 0$, on retrouve la divergence de $\sum \frac{1}{n\ln n}$ établie dans le cours (section 20.3.3) par comparaison avec une intégrale.

3. La suite $b_{n} = \min\big(a_{n}, \frac{1}{n}\big)$ est le minimum de deux suites décroissantes de limite nulle : elle est décroissante (si $n \leqslant m$, on a $b_{m} \leqslant a_{m} \leqslant a_{n}$ et $b_{m} \leqslant \frac{1}{m} \leqslant \frac{1}{n}$), positive et de limite nulle. La question 1 s'applique à $(b_{n})$, et $$2^{p}b_{2^{p}} = \min\big(2^{p}a_{2^{p}}, 1\big).$$ Par la question 1, la série $\sum 2^{p}a_{2^{p}}$ diverge. Deux cas se présentent.

• Si $2^{p}a_{2^{p}} \geqslant 1$ pour une infinité d'entiers $p$, le terme $2^{p}b_{2^{p}}$ vaut $1$ pour une infinité de $p$ : il ne tend pas vers $0$, et la série condensée diverge grossièrement.

• Sinon, $2^{p}b_{2^{p}} = 2^{p}a_{2^{p}}$ à partir d'un certain rang, et la série condensée diverge comme $\sum 2^{p}a_{2^{p}}$.

Dans les deux cas, $\sum 2^{p}b_{2^{p}}$ diverge, donc $\sum b_{n}$ aussi, par la question 1. $$\boxed{\sum a_{n} \text{ diverge} \implies \sum \min\Big(a_{n}, \frac{1}{n}\Big) \text{ diverge}}$$ Piège. L'hypothèse de décroissance est indispensable. Pour $a_{n} = 1$ si $n$ est un carré et $a_{n} = 0$ sinon, la série $\sum a_{n}$ diverge grossièrement, mais $\min\big(a_{n}, \frac{1}{n}\big)$ vaut $\frac{1}{k^{2}}$ si $n = k^{2}$ et $0$ sinon : ses sommes partielles sont majorées par $\frac{\pi^{2}}{6}$, et la série converge. La même suite lacunaire est au cœur de l'exercice 8, où elle montrait que $nu_{n}$ peut ne pas tendre vers $0$ ; l'erreur la plus répandue est de croire qu'une série divergente l'est « parce que ses termes sont gros partout ».