Exercice 20

Les termes $\frac{\sigma(n)}{n^{2}}$ sont strictement positifs. Soit $N \geqslant 1$. Pour $N + 1 \leqslant n \leqslant 2N$, on a $\frac{1}{n^{2}} \geqslant \frac{1}{4N^{2}}$, donc $$\sum_{n=N+1}^{2N} \frac{\sigma(n)}{n^{2}} \geqslant \frac{1}{4N^{2}}\sum_{n=N+1}^{2N} \sigma(n).$$ Comme $\sigma$ est injective, les $N$ entiers $\sigma(N + 1)$, …, $\sigma(2N)$ sont des entiers naturels non nuls deux à deux distincts. Rangés dans l'ordre croissant, ils s'écrivent $m_{1} < m_{2} < \dots < m_{N}$, et une récurrence immédiate donne $m_{i} \geqslant i$ : leur somme est au moins $1 + 2 + \dots + N = \frac{N(N + 1)}{2}$. Ainsi $$\boxed{\sum_{n=N+1}^{2N} \frac{\sigma(n)}{n^{2}} \geqslant \frac{N(N + 1)}{8N^{2}} \geqslant \frac{1}{8} \quad\text{pour tout } N \geqslant 1}$$ Si la série convergeait, de somme $S$, ses sommes partielles $S_{N}$ tendraient vers $S$, ainsi que la suite extraite $(S_{2N})$, et la différence $S_{2N} - S_{N}$, qui est la somme ci-dessus, tendrait vers $0$. C'est impossible, puisqu'elle reste supérieure à $\frac{1}{8}$. $$\boxed{\sum_{n \geqslant 1} \frac{\sigma(n)}{n^{2}} \text{ diverge, quelle que soit la bijection } \sigma}$$ Pour $\sigma = \mathrm{id}$, c'est la série harmonique. L'exercice dit qu'aucune façon de réordonner les entiers ne peut rendre la série convergente : on peut placer de petites valeurs de $\sigma$ sur beaucoup d'indices, mais pas en moyenne, car chaque entier n'est utilisé qu'une fois. On remarquera que l'argument n'utilise que l'injectivité de $\sigma$.

Piège. L'erreur la plus répandue est de majorer ou de minorer terme à terme : on n'a aucune information sur un $\sigma(n)$ isolé, qui peut valoir $1$ pour un $n$ immense. Seule une somme de termes consécutifs se contrôle, et c'est pourquoi l'énoncé propose les tranches $[\![N + 1\,;2N]\!]$, comme à l'exercice 18.