Exercice 38

Par le théorème 2, $\mathrm{e} = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!}$. En multipliant par $n!$ et en séparant les indices $k \leqslant n$ et $k > n$, $$n!\,\mathrm{e} = a_{n} + r_{n}, \qquad a_{n} = \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!}, \qquad r_{n} = \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{n!}{k!}.$$ Parité de $a_{n}$. Chaque $\frac{n!}{k!} = (k + 1)(k + 2)\cdots n$ est un entier, donc $a_{n} \in \mathbb{N}$. Pour $n \geqslant 1$, on met $n$ en facteur dans les termes d'indice $k \leqslant n - 1$ : $$a_{n} = n\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(n - 1)!}{k!} + 1 = n\,a_{n-1} + 1.$$ Montrons par récurrence que $a_{n} \equiv n + 1 \;[2]$. C'est vrai pour $n = 0$, puisque $a_{0} = 1$. Si $a_{n-1} \equiv n \;[2]$, alors $a_{n} \equiv n^{2} + 1 \equiv n + 1 \;[2]$, car $n^{2} - n = n(n - 1)$ est pair. $$\boxed{a_{n} \equiv n + 1 \;[2]}, \qquad a_{0}, \dots, a_{5} = 1, 2, 5, 16, 65, 326 \ \checkmark$$ Encadrement de $r_{n}$. Pour $j \geqslant 1$, $\frac{n!}{(n + j)!} = \frac{1}{(n + 1)\cdots(n + j)}$, qui vaut $\frac{1}{n + 1}$ pour $j = 1$ et est strictement inférieur à $\frac{1}{(n + 1)^{j}}$ pour $j \geqslant 2$. En sommant (théorème 1 pour la série géométrique), $$\frac{1}{n + 1} < r_{n} < \sum_{j=1}^{+\infty} \frac{1}{(n + 1)^{j}} = \frac{1}{n}, \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{\frac{1}{n + 1} < r_{n} < \frac{1}{n}, \qquad r_{n} \sim \frac{1}{n}}$$ En particulier $r_{n + 1} < \frac{1}{n + 1} < r_{n}$ : la suite $(r_{n})$ est strictement décroissante.

Nature de la série. Comme $a_{n}$ est un entier de la parité de $n + 1$, on a, pour tout réel $x$, $$\sin(\pi a_{n} + x) = (-1)^{a_{n}}\sin x = (-1)^{n + 1}\sin x, \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{\sin(\pi\,n!\,\mathrm{e}) = (-1)^{n + 1}\sin(\pi r_{n})}$$ Pour $n \geqslant 2$, on a $\pi r_{n} \in \big]0\,,\frac{\pi}{2}\big[$, puisque $r_{n} < \frac{1}{n} \leqslant \frac{1}{2}$ ; la fonction $\sin$ est croissante sur cet intervalle, et $\big(\sin(\pi r_{n})\big)_{n \geqslant 2}$ est décroissante, de limite nulle. Le théorème 7 donne la convergence. Enfin $\sin(\pi r_{n}) \sim \pi r_{n} \sim \frac{\pi}{n}$ : la convergence n'est pas absolue. $$\boxed{\sum\nolimits_{n \geqslant 1} \sin(\pi\,n!\,\mathrm{e}) \text{ est semi-convergente}}$$ On contrôle en précision élevée : $100\sin(\pi \cdot 100!\,\mathrm{e}) \approx -3{,}1408$, proche de $(-1)^{101}\pi$ ✓.

Piège. Le rang compte : pour $n = 1$, $r_{1} = \mathrm{e} - 2 \approx 0{,}718$ dépasse $\frac{1}{2}$, et l'argument de monotonie ne vaut qu'à partir de $n = 2$, ce qui ne change pas la nature. L'encadrement $0 < r_{n} < 1$ est exactement celui de la démonstration de l'irrationalité de $\mathrm{e}$ (chapitre 18, proposition 12) : si l'on avait $\mathrm{e} = \frac{p}{q}$, le réel $r_{q} = q!\,\mathrm{e} - a_{q}$ serait un entier de $]0\,,1[$. Ici le même encadrement, rendu plus fin, dit à quelle vitesse $n!\,\mathrm{e}$ s'approche des entiers.