Exercice 23

Idée. La fonction $f : t \mapsto \frac{\sin(\ln t)}{t}$ n'est pas monotone, et la proposition 6 ne s'applique pas. Mais sa dérivée est un $O\big(\frac{1}{t^{2}}\big)$ : l'écart entre $f(k)$ et l'intégrale de $f$ sur $[k\,,k + 1]$ est alors le terme d'une série absolument convergente, et la série a la même nature que la suite des intégrales, qui oscille.

1. On reconnaît une dérivée composée de la forme $u'(t)\sin u(t)$ avec $u = \ln$ (c'est le changement de variable $s = \ln t$) : la fonction $t \mapsto -\cos(\ln t)$ a pour dérivée $\frac{\sin(\ln t)}{t}$ sur $]0\,,+\infty[$, et $$\boxed{\int_{1}^{x} \frac{\sin(\ln t)}{t}\,\mathrm{d} t = \big[-\cos(\ln t)\big]_{1}^{x} = 1 - \cos(\ln x) \quad\text{pour } x > 0}$$ Pour $x_{k} = \mathrm{e}^{2k\pi}$ et $y_{k} = \mathrm{e}^{(2k + 1)\pi}$, deux suites qui tendent vers $+\infty$, cette intégrale vaut respectivement $0$ et $2$. Si elle avait une limite $\ell$ en $+\infty$, la caractérisation séquentielle (chapitre 8, théorème 1) donnerait $\ell = 0$ et $\ell = 2$. $$\boxed{x \mapsto \int_{1}^{x} \frac{\sin(\ln t)}{t}\,\mathrm{d} t \text{ n'a pas de limite en } +\infty}$$

2. La fonction $f$ est dérivable sur $[1\,,+\infty[$, et $$f'(t) = \frac{\cos(\ln t) - \sin(\ln t)}{t^{2}}, \qquad |f'(t)| \leqslant \frac{2}{t^{2}} \leqslant \frac{2}{k^{2}} \quad\text{pour } t \in [k\,,k + 1].$$ L'inégalité des accroissements finis (chapitre 9, théorème 6 (ii)) donne $|f(k) - f(t)| \leqslant \frac{2}{k^{2}}(t - k)$ pour $t \in [k\,,k + 1]$. Comme l'intervalle est de longueur $1$, on écrit $f(k) = \int_{k}^{k+1} f(k)\,\mathrm{d} t$, et l'inégalité triangulaire pour les intégrales donne $$|d_{k}| = \Big|\int_{k}^{k+1} \big(f(k) - f(t)\big)\,\mathrm{d} t\Big| \leqslant \frac{2}{k^{2}}\int_{k}^{k+1} (t - k)\,\mathrm{d} t = \frac{1}{k^{2}}, \qquad\text{où}\quad d_{k} = \frac{\sin(\ln k)}{k} - \int_{k}^{k+1} \frac{\sin(\ln t)}{t}\,\mathrm{d} t.$$

3. Par la question 2 et la proposition 9, la série $\sum d_{k}$ est absolument convergente ; on note $D_{n}$ ses sommes partielles et $D$ sa somme. La relation de Chasles et la question 1 donnent $$\sum_{k=1}^{n} \frac{\sin(\ln k)}{k} = D_{n} + \int_{1}^{n+1} \frac{\sin(\ln t)}{t}\,\mathrm{d} t = D_{n} + 1 - \cos\big(\ln(n + 1)\big).$$ Si la série $\sum \frac{\sin(\ln n)}{n}$ convergeait, la suite $\big(\cos(\ln(n + 1))\big)$ convergerait, comme différence de deux suites convergentes. Montrons que ce n'est pas le cas. Pour $k \geqslant 1$, posons $n_{k} = \lfloor \mathrm{e}^{2k\pi} \rfloor$ ; alors $n_{k} \leqslant \mathrm{e}^{2k\pi} < n_{k} + 1 \leqslant \mathrm{e}^{2k\pi} + 1$, donc $$0 < \ln(n_{k} + 1) - 2k\pi \leqslant \ln\big(1 + \mathrm{e}^{-2k\pi}\big) \xrightarrow[k \to +\infty]{} 0,$$ et $\cos(\ln(n_{k} + 1))$ tend vers $\cos 0 = 1$ par continuité du cosinus et $2\pi$-périodicité. De même, avec $m_{k} = \lfloor \mathrm{e}^{(2k + 1)\pi} \rfloor$, la suite $\cos(\ln(m_{k} + 1))$ tend vers $\cos\pi = -1$. Deux suites extraites ayant des limites différentes, la suite $\big(\cos(\ln(n + 1))\big)$ diverge. $$\boxed{\sum_{n \geqslant 1} \frac{\sin(\ln n)}{n} \text{ diverge}}$$ Plus précisément, la somme partielle d'indice $n$ vaut $1 + D - \cos(\ln(n + 1)) + o(1)$ : elle oscille indéfiniment entre $D$ et $D + 2$, avec $D \approx -0{,}0731$ (valeur obtenue numériquement).

Les points bleus sont les sommes partielles, placées en fonction de $\ln n$ jusqu'à $n \approx 12\,000$ ; elles suivent la courbe $1 + D - \cos(\ln n)$ et repassent par leur minimum et leur maximum à chaque fois que $\ln n$ augmente de $2\pi$, c'est-à-dire quand $n$ est multiplié par $\mathrm{e}^{2\pi} \approx 535$. La divergence est donc très lente, mais elle est certaine.

4. On applique la même méthode à la fonction complexe $h : t \mapsto \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\ln t}}{t}$, en annonçant comme à la question 1 la primitive : $t \mapsto -\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\ln t}$ a pour dérivée $-\mathrm{i} \cdot \frac{\mathrm{i}}{t}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\ln t} = h(t)$. De plus $$h'(t) = \frac{(\mathrm{i} - 1)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\ln t}}{t^{2}}, \qquad |h'(t)| = \frac{\sqrt{2}}{t^{2}} \leqslant \frac{2}{k^{2}} \quad\text{sur } [k\,,k + 1],$$ et l'inégalité des accroissements finis pour les fonctions à valeurs complexes (chapitre 9, proposition 6) donne, comme à la question 2, $\big|h(k) - \int_{k}^{k+1} h\big| \leqslant \frac{1}{k^{2}}$. Les écarts $\delta_{k} = h(k) - \int_{k}^{k+1} h$ forment une série absolument convergente, et $$\sum_{k=1}^{n} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\ln k}}{k} = \sum_{k=1}^{n} \delta_{k} + \big[-\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\ln t}\big]_{1}^{n+1} = \sum_{k=1}^{n} \delta_{k} + \mathrm{i} - \mathrm{i}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\ln(n+1)}.$$ La partie imaginaire de $\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\ln(n+1)}$ est $\cos(\ln(n + 1))$, qui n'a pas de limite d'après la question 3 : la suite $\big(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\ln(n+1)}\big)$ diverge, et la série aussi. $$\boxed{\sum_{n \geqslant 1} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\ln n}}{n} \text{ diverge}}$$ On pouvait aussi conclure sans calcul : la partie imaginaire de $\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\ln n}}{n}$ est $\frac{\sin(\ln n)}{n}$, et une série complexe dont la série des parties imaginaires diverge diverge elle-même (proposition 1 (iii)). On a $\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\ln n}}{n} = \frac{1}{n^{1 - \mathrm{i}}}$ : c'est une série « de Riemann » d'exposant complexe $1 - \mathrm{i}$, de partie réelle $1$, et son terme général a pour module $\frac{1}{n}$.

Piège. L'erreur la plus répandue est d'appliquer la proposition 6 à $f$, qui n'est pas monotone, ou de croire que le terme $\frac{\sin(\ln n)}{n}$ change de signe assez souvent pour que les compensations jouent comme dans une série alternée. Ici le signe est constant sur des plages $[\mathrm{e}^{k\pi}, \mathrm{e}^{(k + 1)\pi}[$ de plus en plus longues, et chaque plage apporte une contribution voisine de $\pm 2$. L'exercice 39 étudiera la série $\sum (-1)^{n}\frac{\sin(\ln n)}{n}$, où le signe alterne vraiment, et qui converge.