Exercice 22

Le lemme. Soit $m \geqslant 1$. Les diviseurs positifs $d$ de $m$ tels que $d \leqslant \sqrt{m}$ sont des entiers de $[\![1\,;\lfloor \sqrt{m} \rfloor]\!]$ : il y en a au plus $\sqrt{m}$. Si $d$ est un diviseur tel que $d > \sqrt{m}$, alors $\frac{m}{d}$ est un diviseur de $m$ strictement inférieur à $\sqrt{m}$, et l'application $d \mapsto \frac{m}{d}$ est injective : il y a au plus $\sqrt{m}$ diviseurs strictement supérieurs à $\sqrt{m}$. $$\boxed{\text{tout entier } m \geqslant 1 \text{ a au plus } 2\sqrt{m} \text{ diviseurs positifs}}$$ Par exemple, $12$ a six diviseurs $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $12$, et $2\sqrt{12} \approx 6{,}93$ ✓.

Minoration du ppcm. On note $L_{n} = \mathrm{ppcm}(u_{1}, \dots, u_{n})$. Chacun des $u_{i}$, pour $i \leqslant n$, divise $L_{n}$ (chapitre 12), et ces $n$ entiers sont deux à deux distincts, puisque la suite est injective : $L_{n}$ a au moins $n$ diviseurs positifs. Le lemme donne $n \leqslant 2\sqrt{L_{n}}$, soit $$\boxed{L_{n} \geqslant \frac{n^{2}}{4}, \qquad 0 < \frac{1}{\mathrm{ppcm}(u_{1}, \dots, u_{n})} \leqslant \frac{4}{n^{2}}}$$ Par comparaison avec la série de Riemann $\sum \frac{4}{n^{2}}$ (théorèmes 3 et 5) : $$\boxed{\sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{\mathrm{ppcm}(u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n})} \text{ converge}}$$ Piège. L'erreur la plus répandue est de se contenter de $L_{n} \geqslant \max(u_{1}, \dots, u_{n}) \geqslant n$, minoration vraie (une suite injective d'entiers prend au moins une valeur supérieure ou égale à $n$ parmi ses $n$ premiers termes) mais inutile, puisqu'elle compare la série à la série harmonique. Le ppcm est bien plus grand que le maximum, car il « contient » tous les $u_{i}$ à la fois, et le lemme sur les diviseurs traduit exactement cela. L'injectivité est indispensable : pour la suite constante égale à $1$, $L_{n} = 1$ et la série diverge grossièrement.