Exercice 63

Idée. On construit $v$ par blocs : sur le $k$-ième bloc d'entiers, $v$ vaut le maximum de $u_{0}$, …, $u_{k}$, et l'on commence ce bloc assez loin pour que le reste de la série correspondante soit inférieur à $2^{-k}$. C'est un procédé diagonal.

Les séries majorantes. Pour $k \in \mathbb{N}$ et $n \in \mathbb{N}$, soit $w_{k}(n) = \max\big(u_{0}(n), \dots, u_{k}(n)\big)$. On a $0 \leqslant w_{k}(n) \leqslant u_{0}(n) + \cdots + u_{k}(n)$, terme général d'une série convergente (proposition 1 (i)) : la série $\sum_{n} w_{k}(n)$ converge (théorème 3). On note $R_{k}(N) = \sum_{n=N}^{+\infty} w_{k}(n)$ ; pour $k$ fixé, $R_{k}(N)$ tend vers $0$ quand $N$ tend vers $+\infty$ (proposition 3). Enfin, $w_{k} \leqslant w_{k+1}$ et $u_{j} \leqslant w_{k}$ dès que $j \leqslant k$.

Les blocs. On pose $N_{0} = 0$, et l'on construit par récurrence des entiers $N_{1} < N_{2} < \cdots$ : si $N_{k-1}$ est construit, on choisit $N_{k} > N_{k-1}$ tel que $R_{k}(N_{k}) \leqslant 2^{-k}$, ce qui est possible puisque $R_{k}(N)$ tend vers $0$. La suite $(N_{k})$ est strictement croissante et à valeurs entières, donc elle tend vers $+\infty$, et tout entier $n$ appartient à un unique intervalle $[\![N_{k}\,;N_{k+1} - 1]\!]$. On pose $$v(n) = w_{k}(n) \qquad\text{pour } N_{k} \leqslant n < N_{k+1}.$$

La série $\sum v(n)$ converge. Elle est à termes positifs. Par la sommation par paquets (théorème 8), avec les blocs $[\![N_{k}\,;N_{k+1} - 1]\!]$, $$\sum_{n=0}^{+\infty} v(n) = \sum_{n=0}^{N_{1}-1} w_{0}(n) + \sum_{k=1}^{+\infty}\,\sum_{n=N_{k}}^{N_{k+1}-1} w_{k}(n) \leqslant \sum_{n=0}^{N_{1}-1} w_{0}(n) + \sum_{k=1}^{+\infty} R_{k}(N_{k}) \leqslant \sum_{n=0}^{N_{1}-1} w_{0}(n) + 1,$$ qui est fini.

Domination. Soit $j \in \mathbb{N}$ et $n \geqslant N_{j}$. L'entier $n$ appartient à un bloc $[\![N_{k}\,;N_{k+1} - 1]\!]$ avec $k \geqslant j$, puisque la suite $(N_{k})$ est croissante, et $v(n) = w_{k}(n) \geqslant u_{j}(n)$. $$\boxed{\text{la suite } v \text{ convient : } \sum v(n) \text{ converge, et } u_{j}(n) \leqslant v(n) \text{ pour tout } n \geqslant N_{j}}$$

Piège. L'erreur la plus répandue est de poser $v(n) = \sup_{k} u_{k}(n)$ : ce supremum peut être infini, et même fini, il n'a aucune raison d'être le terme général d'une série convergente. Pour $u_{k}(n) = 1$ si $n = k$ et $0$ sinon, il vaut $1$ pour tout $n$. La construction par blocs ne compare $v$ qu'à un nombre fini de suites à la fois, et c'est le « à partir d'un certain rang » de l'énoncé qui le permet.

À retenir. L'exercice 27 a montré qu'aucune série convergente à termes strictement positifs $\sum v(n)$ ne domine toutes les autres : sa deuxième question fournit $b_{n} \to +\infty$ telle que $\sum v(n)b_{n}$ converge, et $v(n)b_{n}$ dépasse $v(n)$ à partir d'un certain rang. L'exercice 63 montre en revanche qu'une suite de séries convergentes est toujours dominée par une seule : on peut converger plus lentement que chacune des séries d'une suite donnée, mais pas que toutes les séries convergentes à la fois.