Exercice 64

Idée. Une série convergente peut contenir, à des rangs de plus en plus éloignés, des blocs de termes de somme nulle répétés autant de fois qu'on le veut. Si $f$ ne respecte pas la somme d'un tel bloc, en répétant le bloc assez de fois on fait diverger la série des images. On en tire, près de $0$, l'additivité $f(x + y) = f(x) + f(y)$ ; la continuité en $0$, obtenue de la même façon, transforme cette additivité en linéarité.

Condition suffisante. Soit $\lambda \in \mathbb{R}$ et $\delta > 0$ tels que $f(x) = \lambda x$ pour $|x| < \delta$. Si $\sum a_{n}$ converge, alors $a_{n}$ tend vers $0$ (proposition 2), donc $|a_{n}| < \delta$ et $f(a_{n}) = \lambda a_{n}$ à partir d'un certain rang $n_{0}$. La série $\sum_{n \geqslant n_{0}} \lambda a_{n}$ converge (proposition 1), et modifier un nombre fini de termes ne change pas la nature d'une série : $\sum f(a_{n})$ converge.

Condition nécessaire. Soit $f$ une fonction qui préserve la convergence.

Étape 1 : un lemme sur les blocs. Soit $p \geqslant 1$ un entier et, pour tout $k \geqslant 1$, une liste $(b_{k,1}, \dots, b_{k,p})$ de réels telle que $$b_{k,1} + \cdots + b_{k,p} = 0 \qquad\text{et}\qquad \varepsilon_{k} = \max_{1 \leqslant i \leqslant p} |b_{k,1} + \cdots + b_{k,i}| \xrightarrow[k \to +\infty]{} 0.$$ On pose $h_{k} = f(b_{k,1}) + \cdots + f(b_{k,p})$. Montrons que $h_{k} = 0$ à partir d'un certain rang.

Supposons le contraire : l'ensemble des $k$ tels que $h_{k} \neq 0$ est infini, et l'on note $k_{1} < k_{2} < \cdots$ ses éléments. Pour tout $\ell \geqslant 1$, soit $m_{\ell}$ un entier tel que $m_{\ell}\,|h_{k_{\ell}}| \geqslant 1$. On forme la suite $(a_{n})$ en écrivant, pour $\ell = 1, 2, \ldots$, la liste $(b_{k_{\ell},1}, \dots, b_{k_{\ell},p})$ répétée $m_{\ell}$ fois ; on appelle « groupe $\ell$ » ces $p\,m_{\ell}$ termes consécutifs, et l'on note $L_{\ell} = p\,(m_{1} + \cdots + m_{\ell})$ le nombre de termes des $\ell$ premiers groupes.

La série $\sum a_{n}$ converge vers $0$. En effet, chaque liste complète a une somme nulle ; la somme partielle des $N$ premiers termes est donc une somme $b_{k_{\ell},1} + \cdots + b_{k_{\ell},i}$, où $\ell$ est le groupe du dernier terme écrit, et sa valeur absolue est au plus $\varepsilon_{k_{\ell}}$. Pour $N > L_{\ell_{0}}$, ce groupe est d'indice $\ell > \ell_{0}$ ; comme $k_{\ell} \geqslant \ell$ et $\varepsilon_{k} \to 0$, la somme partielle tend vers $0$.

Par hypothèse, la série $\sum f(a_{n})$ converge ; soit $B_{N}$ la somme de ses $N$ premiers termes, et $B$ sa somme. La suite extraite $(B_{L_{\ell}})_{\ell}$ tend aussi vers $B$ (chapitre 7, proposition 11), donc $B_{L_{\ell}} - B_{L_{\ell-1}}$ tend vers $0$. Or cette différence est la somme des images du groupe $\ell$, c'est-à-dire $m_{\ell}\,h_{k_{\ell}}$, de valeur absolue au moins $1$. C'est une contradiction, et le lemme est démontré.

Étape 2 : additivité près de $0$. Montrons qu'il existe $\delta > 0$ tel que $$f(x) + f(y) + f(-x - y) = 0 \qquad\text{pour tous } x, y \in \left]-\delta\,,\delta\right[. \tag{1}$$ Sinon, pour tout $k \geqslant 1$, il existe $x_{k}$, $y_{k}$ dans $\left]-\frac{1}{k}\,,\frac{1}{k}\right[$ tels que $f(x_{k}) + f(y_{k}) + f(-x_{k} - y_{k}) \neq 0$. Les listes $(x_{k}, y_{k}, -x_{k} - y_{k})$ ont une somme nulle, et leurs sommes partielles $x_{k}$, $x_{k} + y_{k}$, $0$ sont de valeur absolue au plus $\frac{2}{k}$, qui tend vers $0$. Le lemme, avec $p = 3$, donne $f(x_{k}) + f(y_{k}) + f(-x_{k} - y_{k}) = 0$ à partir d'un certain rang : c'est une contradiction.

Avec $x = y = 0$, la relation (1) donne $3f(0) = 0$, donc $f(0) = 0$. Avec $y = -x$, elle donne $f(x) + f(-x) = 0$ : $f$ est impaire sur $\left]-\delta\,,\delta\right[$. Enfin, soit $\eta = \frac{\delta}{2}$ et $x, y \in \left]-\eta\,,\eta\right[$ ; alors $x + y \in \left]-\delta\,,\delta\right[$, donc $f(-x - y) = -f(x + y)$, et (1) devient $$f(x + y) = f(x) + f(y) \qquad\text{pour tous } x, y \in \left]-\eta\,,\eta\right[. \tag{2}$$

Étape 3 : continuité en $0$. Supposons que $f$ ne tende pas vers $f(0) = 0$ en $0$. Il existe alors $\varepsilon > 0$ tel que, pour tout $k \in \mathbb{N}$, on puisse trouver un réel $x_{k}$ avec $|x_{k}| \leqslant 2^{-k}$ et $|f(x_{k})| > \varepsilon$. La série $\sum x_{k}$ est absolument convergente, par comparaison avec une série géométrique (théorème 3), donc convergente (théorème 6). Mais $f(x_{k})$ ne tend pas vers $0$, et $\sum f(x_{k})$ diverge grossièrement (proposition 2). C'est une contradiction : $f$ est continue en $0$.

Étape 4 : linéarité près de $0$. Soit $x \in \left]-\eta\,,\eta\right[$ et $q \geqslant 1$ un entier. Pour $1 \leqslant j < q$, les réels $\frac{jx}{q}$ et $\frac{x}{q}$ sont dans $\left]-\eta\,,\eta\right[$, et (2) donne $f\big(\frac{(j+1)x}{q}\big) = f\big(\frac{jx}{q}\big) + f\big(\frac{x}{q}\big)$. Par récurrence sur $j$, $f\big(\frac{jx}{q}\big) = j\,f\big(\frac{x}{q}\big)$ pour $1 \leqslant j \leqslant q$ ; avec $j = q$, $f\big(\frac{x}{q}\big) = \frac{1}{q}f(x)$. Ainsi, en tenant compte de $f(0) = 0$, $$f\Big(\frac{j}{q}\,x\Big) = \frac{j}{q}\,f(x) \qquad\text{pour } 0 \leqslant j \leqslant q. \tag{3}$$ Soit $x_{0} = \frac{\eta}{2}$ et $\lambda = \frac{f(x_{0})}{x_{0}}$. Soit $t \in [0\,,x_{0}]$ et, pour $n \geqslant 1$, $r_{n} = \frac{1}{n}\big\lfloor\frac{nt}{x_{0}}\big\rfloor$, qui est un rationnel de $[0\,,1]$ tel que $0 \leqslant \frac{t}{x_{0}} - r_{n} < \frac{1}{n}$. Les réels $r_{n}x_{0}$ et $t - r_{n}x_{0}$ sont dans $[0\,,x_{0}] \subset \left]-\eta\,,\eta\right[$ ; par (2) puis (3), $$f(t) = f(r_{n}x_{0}) + f(t - r_{n}x_{0}) = \lambda\,r_{n}x_{0} + f(t - r_{n}x_{0}).$$ Quand $n$ tend vers $+\infty$, $r_{n}x_{0}$ tend vers $t$, et $t - r_{n}x_{0}$ tend vers $0$, donc $f(t - r_{n}x_{0})$ tend vers $f(0) = 0$ par l'étape 3 (chapitre 8, théorème 7). Il reste $f(t) = \lambda t$ pour tout $t \in [0\,,x_{0}]$, puis, par imparité, pour tout $t \in [-x_{0}\,,x_{0}]$. $$\boxed{f \text{ préserve la convergence} \iff \text{il existe } \lambda \in \mathbb{R} \text{ et } \delta' > 0 \text{ tels que } f(x) = \lambda x \text{ pour } |x| < \delta'}$$

Piège. L'erreur la plus répandue est de croire qu'un équivalent suffit : la fonction $\sin$ vérifie $\sin x \sim x$ en $0$, et pourtant elle ne préserve pas la convergence. Avec $x_{k} = k^{-1/3}$, la série formée des blocs $(x_{k}, x_{k}, -2x_{k})$ converge, ses sommes partielles valant $x_{k}$, $2x_{k}$ ou $0$. Si la série des sinus convergeait, la série de ses paquets de trois termes convergerait aussi (exercice 6). Or ces paquets valent $$2\sin x_{k} - \sin(2x_{k}) = 2\sin x_{k}\,(1 - \cos x_{k}) \sim x_{k}^{3} = \frac{1}{k},$$ terme général positif d'une série divergente (théorème 4). Les termes d'ordre $3$ du développement de $\sin$, invisibles dans l'équivalent, se cumulent : sur les $20\,000$ premiers blocs, la somme des sinus vaut déjà environ $9{,}98$, alors que les sommes partielles de la série de départ, en fin de bloc, sont nulles ✓. Le résultat est le même pour toute fonction non linéaire près de $0$, par exemple $x \mapsto x + x^{2}$, avec les blocs $(x_{k}, -x_{k})$ et $x_{k} = k^{-1/2}$, dont les images ont pour somme $2x_{k}^{2} = \frac{2}{k}$.

À retenir. L'étape 3 n'est pas un détail : l'additivité (2) seule ne suffit pas à conclure, car il existe des fonctions additives sur $\mathbb{R}$ qui ne sont pas linéaires, dont la construction dépasse largement le programme. C'est la continuité en $0$, fournie elle aussi par l'hypothèse, qui permet le passage des rationnels aux réels, comme dans l'étude de l'équation fonctionnelle $f(x + y) = f(x) + f(y)$ sur $\mathbb{R}$ tout entier.