Exercice 9

1. À chaque étape, la partie blanche est divisée par $2$. Après $n-1$ étapes, l'aire blanche vaut $\dfrac{1}{2^{n-1}}$, et l'on en colorie la moitié à l'étape $n$ : $\boxed{\dfrac{1}{2^{n}}}$.

2. L'aire coloriée est la somme de $n$ termes de la suite géométrique de premier terme $\dfrac{1}{2}$ et de raison $\dfrac{1}{2}$ : $$A_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2^{n}}=\frac{1}{2}\times\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}}{1-\frac{1}{2}} =\boxed{1-\frac{1}{2^{n}}}$$ On le retrouve sans calcul : la partie restée blanche a pour aire $\dfrac{1}{2^{n}}$, et le reste du carré est colorié.

3. $A_{n}>0{,}999\iff\dfrac{1}{2^{n}}<0{,}001\iff 2^{n}>1\,000$. Comme $2^{9}=512$ et $2^{10}=1\,024$ : $\boxed{n=10}$.

4. Lorsque $n$ devient très grand, $\dfrac{1}{2^{n}}$ devient aussi petit que l'on veut, et $A_{n}$ s'approche de $1$ : l'aire coloriée se rapproche de l'aire du carré entier, sans jamais l'atteindre. C'était prévisible : on colorie toujours une partie de ce qui reste, et ce qui reste ne cesse de diminuer de moitié. On écrit parfois $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dots=1$ ; donner un sens précis à cette somme infinie est l'objet de la notion de limite, étudiée en Terminale.