Exercice 8

1. Augmenter de $2\,\%$, c'est multiplier par $1{,}02$ : $(a_{n})$ est géométrique de raison $1{,}02$. Augmenter de $500$ euros, c'est ajouter $500$ : $(b_{n})$ est arithmétique de raison $500$. Comme le premier terme est d'indice $1$ : $$\boxed{a_{n}=21\,600\times 1{,}02^{\,n-1}} \qquad ; \qquad \boxed{b_{n}=21\,600+500\,(n-1)}$$

2. Contrat A. Somme de $N$ termes géométriques : $$A_{N}=21\,600\times\frac{1-1{,}02^{N}}{1-1{,}02}=21\,600\times\frac{1{,}02^{N}-1}{0{,}02}$$ d'où $A_{10}\approx\boxed{236\,514}$ euros et $A_{20}\approx\boxed{524\,823}$ euros.

Contrat B. Somme de $N$ termes arithmétiques, avec $b_{10}=26\,100$ et $b_{20}=31\,100$ : $$B_{10}=10\times\frac{21\,600+26\,100}{2}=\boxed{238\,500} \text{ euros}$$

$$B_{20}=20\times\frac{21\,600+31\,100}{2}=\boxed{527\,000} \text{ euros}$$ Sur $10$ comme sur $20$ ans, le contrat B est plus avantageux.

3. La calculatrice, par exemple avec un tableau de valeurs de $A_{N}$ et $B_{N}$, donne :

$$\boxed{\text{le contrat A devient plus avantageux à partir de } 24 \text{ ans}}$$ Au début, l'augmentation de $2\,\%$ ne représente que $432$ euros, moins que $500$ euros ; mais elle porte sur un salaire qui grandit, et finit par dépasser toute augmentation fixe. Une croissance géométrique de raison $q>1$ finit toujours par l'emporter sur une croissance arithmétique, même si celle-ci est plus rapide au départ.