Exercice 7

Le nombre de grains de la case numéro $k$ est $g_{k}=2^{k-1}$ : c'est une suite géométrique de premier terme $g_{1}=1$ et de raison $2$.

1. $$g_{64}=\boxed{2^{63}}\approx 9{,}2\times 10^{18} \text{ grains}$$

2. $$g_{1}+g_{2}+\dots+g_{64}=1+2+\dots+2^{63}=\frac{1-2^{64}}{1-2}=\boxed{2^{64}-1} =18\,446\,744\,073\,709\,551\,615$$ soit environ $1{,}8\times 10^{19}$ grains. On remarque que $2^{64}-1=2\times 2^{63}-1$ : le total est égal au double de la dernière case, moins un grain. La dernière case contient à elle seule plus de la moitié du blé !

3. La masse totale vaut environ $1{,}8\times 10^{19}\times 0{,}05=9{,}2\times 10^{17}$ g, soit $9{,}2\times 10^{11}$ tonnes, car $1$ tonne $=10^{6}$ g. Le nombre d'années de production nécessaires est d'environ : $$\frac{9{,}2\times 10^{11}}{8\times 10^{8}}\approx\boxed{1\,150 \text{ ans}}$$

La croissance d'une suite géométrique de raison $2$ dépasse très vite l'intuition : c'est tout l'objet de la légende.