Exercice 6

1. D'après la formule $u_{n}=u_{p}\times q^{n-p}$ avec $n=5$ et $p=2$ : $$u_{5}=u_{2}\times q^{3} \iff 96=12\,q^{3} \iff q^{3}=8 \iff \boxed{q=2}$$ car $2$ est le seul réel dont le cube vaut $8$. Puis $u_{2}=u_{0}\times q^{2}$, d'où $u_{0}=\dfrac{12}{4}=\boxed{3}$.

2. $$\boxed{u_{n}=3\times 2^{n}}$$ Contrôle : $u_{2}=3\times 4=12$ et $u_{5}=3\times 32=96$.

3. La somme compte $10$ termes : $$u_{0}+\dots+u_{9}=3\times\frac{1-2^{10}}{1-2}=3\times 1\,023=\boxed{3\,069}$$

4. La suite est croissante, puisque $u_{n+1}=2u_{n}>u_{n}$. La calculatrice donne $u_{11}=3\times 2\,048=6\,144$ et $u_{12}=3\times 4\,096=12\,288$. $\boxed{n=12}$