Exercice 5

1. La somme compte $7$ termes, de $w_{1}$ à $w_{7}$, et son premier terme vaut $64$ : $$w_{1}+\dots+w_{7}=64\times\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{7}}{1-\frac{1}{2}} =128\left(1-\frac{1}{128}\right)=128-1=\boxed{127}$$ Contrôle : $64+32+16+8+4+2+1=127$.

2. La somme compte $6$ termes, de $t_{0}$ à $t_{5}$ : $$t_{0}+\dots+t_{5}=2\times\frac{1-(-3)^{6}}{1-(-3)}=2\times\frac{1-729}{4}=\boxed{-364}$$ Contrôle : $2-6+18-54+162-486=-364$.

La raison étant négative, les termes changent de signe à chaque rang, et leur valeur absolue est multipliée par $3$. Le dernier terme, $t_{5}=-486$, est négatif et l'emporte sur tous les autres réunis, dont la somme ne vaut que $122$. C'est une propriété générale : lorsque $q<-1$, le signe de la somme est celui de son dernier terme.