Exercice 34

Partie A

1. On additionne les seize temps d'attente : $$\overline{x} = \frac{1+2+2+3+3+4+4+5+5+6+6+7+8+10+12+18}{16} = \frac{96}{16} = \boxed{6 \text{ minutes}}$$

2. L'effectif $N = 16$ est pair : la médiane est la demi-somme des huitième et neuvième valeurs, toutes deux égales à $5$. Par ailleurs $\dfrac{N}{4} = 4$ et $\dfrac{3N}{4} = 12$ sont entiers : $$M = \boxed{5 \text{ minutes}} \qquad Q_{1} = \boxed{3 \text{ minutes}} \qquad Q_{3} = \boxed{7 \text{ minutes}}$$

3. On calcule les deux différences : $$\text{étendue} = 18 - 1 = \boxed{17 \text{ minutes}} \qquad\text{et}\qquad Q_{3} - Q_{1} = 7 - 3 = \boxed{4 \text{ minutes}}$$

Partie B

1. On lit le minimum, le maximum et les quartiles dans le tableau : $$\text{étendue} = 9 - 4 = \boxed{5 \text{ minutes}} \qquad\text{et}\qquad Q_{3} - Q_{1} = 7 - 5 = \boxed{2 \text{ minutes}}$$

2. On compare d'abord les deux indicateurs de position : $$\boxed{\begin{array}{l} \text{Les deux magasins ont la même moyenne : } 6 \text{ minutes.} \\[1mm] \text{Les médianes diffèrent : } 5 \text{ minutes pour A, } 6 \text{ minutes pour B.} \end{array}}$$

3. On rassemble les indicateurs de dispersion :

$$\boxed{\text{Le magasin B est bien plus régulier : ses deux indicateurs de dispersion sont plus petits.}}$$ Au magasin A, un client peut être servi en $1$ minute comme attendre $18$ minutes.

Partie C

1. Les deux moyennes valent effectivement $6$ minutes. $$\boxed{\begin{array}{l} \text{L'affirmation est exacte, mais elle n'est pas honnête : elle passe sous silence} \\[1mm] \text{la dispersion, très différente d'un magasin à l'autre.} \end{array}}$$ C'est exactement le procédé dénoncé à la fin du cours : annoncer une moyenne sans rien dire de l'étalement, c'est ne livrer que la moitié de l'information.

2. Au magasin A, on a $Q_{1} = 3$ : au moins un quart des clients attendent $3$ minutes ou moins, donc moins de $4$ minutes. Au magasin B, le minimum vaut $4$ minutes : aucun client n'attend moins de $4$ minutes. $$\boxed{\text{C'est au magasin A, où le premier quartile vaut } 3 \text{ minutes.}}$$

3. Les deux réponses sont recevables, à condition d'être argumentées. $$\boxed{\begin{array}{l} \text{Magasin B : l'attente y est prévisible, entre } 4 \text{ et } 9 \text{ minutes, pour une même} \\[1mm] \text{moyenne de } 6 \text{ minutes et un écart interquartile de } 2 \text{ minutes seulement.} \\[2mm] \text{Magasin A : la médiane y est plus basse (} 5 \text{ contre } 6 \text{), et un quart des clients} \\[1mm] \text{y attendent } 3 \text{ minutes ou moins — au prix d'un risque d'attente longue.} \end{array}}$$ On retiendra surtout que trancher exige d'utiliser deux indicateurs : la position ne suffit pas, la dispersion non plus.