Exercice 33

Partie A

1. On additionne les vingt temps de trajet : $$\overline{x} = \frac{420}{20} = \boxed{21 \text{ minutes}}$$

2. L'effectif $N = 20$ est pair : la médiane est la demi-somme des dixième et onzième valeurs, soit $18$ et $20$ : $$M = \frac{18 + 20}{2} = \boxed{19 \text{ minutes}}$$

3. On calcule les deux rangs : $$\frac{N}{4} = \frac{20}{4} = 5 \qquad\text{et}\qquad \frac{3N}{4} = \frac{60}{4} = 15$$ Ces deux résultats étant entiers, $Q_{1}$ est la cinquième valeur et $Q_{3}$ la quinzième : $$Q_{1} = \boxed{12 \text{ minutes}} \qquad\text{et}\qquad Q_{3} = \boxed{25 \text{ minutes}}$$

4. On calcule les deux différences : $$\text{étendue} = 53 - 5 = \boxed{48 \text{ minutes}} \qquad\text{et}\qquad Q_{3} - Q_{1} = 25 - 12 = \boxed{13 \text{ minutes}}$$

5. On place les cinq nombres $5$, $12$, $19$, $25$ et $53$ sur un axe gradué de $0$ à $55$ :

Partie B

1. La somme des dix-neuf temps restants vaut $420 - 53 = 367$ : $$\overline{x} = \frac{367}{19} \approx \boxed{19{,}3 \text{ minutes}}$$

2. L'effectif $N = 19$ est impair : la médiane est la valeur de rang $\dfrac{19+1}{2} = 10$, soit $18$ : $$M = \boxed{18 \text{ minutes}}$$

3. On recalcule les rangs : $$\frac{N}{4} = 4{,}75 \;\longrightarrow\; \text{rang } 5 \qquad\text{et}\qquad \frac{3N}{4} = 14{,}25 \;\longrightarrow\; \text{rang } 15$$ Les cinquième et quinzième valeurs de la nouvelle série sont les mêmes qu'avant, le départ n'ayant retiré que la dernière : $$Q_{1} = \boxed{12 \text{ minutes}} \qquad\text{et}\qquad Q_{3} = \boxed{25 \text{ minutes}}$$

4. On compare les quatre indicateurs :

$$\boxed{\begin{array}{l} \text{La moyenne a le plus varié : elle perd } 1{,}7 \text{ minute.} \\[1mm] \text{Les quartiles n'ont pas bougé du tout.} \end{array}}$$ La valeur $53$ intervenait dans la somme, donc dans la moyenne ; elle n'intervenait dans les quartiles que par son rang, le dernier, et son retrait ne modifie donc pas les rangs $5$ et $15$.

Partie C

1. La moyenne $21$ minutes est exacte, mais quatorze élèves sur vingt mettent moins de temps que cela : elle est gonflée par le seul élève qui met $53$ minutes. $$\boxed{\text{La moyenne est tirée vers le haut par une valeur extrême et ne décrit presque personne.}}$$ De plus, une moyenne seule ne dit rien de l'étalement, alors qu'il va ici de $5$ à $53$ minutes.

2. On respecte le conseil du cours en donnant au moins un indicateur de position et un de dispersion. Par exemple : $$\boxed{\begin{array}{l} \text{La moitié des élèves mettent moins de } 19 \text{ minutes pour venir au lycée, et la} \\[1mm] \text{moitié centrale de la classe met entre } 12 \text{ et } 25 \text{ minutes ; un élève met} \\[1mm] \text{toutefois près d'une heure.} \end{array}}$$