Exercice 39

1. On a $P(A)\times P(B)=0{,}4\times 0{,}5=0{,}2$, et $P(A\cup B)=0{,}4+0{,}5-0{,}2=0{,}7$, d'où : $$\boxed{P(A)\times P(B)=0{,}2 \qquad P(A\cup B)\times P(A\cap B)=0{,}7\times 0{,}2=0{,}14}$$ On conjecture que l'on a toujours $P(A\cup B)\times P(A\cap B)\leqslant P(A)\times P(B)$.

2. Les événements $A\cap\overline{B}$, $A\cap B$ et $\overline{A}\cap B$ découpent $A\cup B$ en trois morceaux deux à deux incompatibles :

Deux événements incompatibles ont une intersection vide, et la probabilité de leur réunion est donc la somme de leurs probabilités. Comme $A$ est la réunion de $A\cap\overline{B}$ et de $A\cap B$, et ainsi de suite : $$\boxed{P(A)=a+x \qquad P(B)=b+x \qquad P(A\cup B)=a+b+x}$$

3. On développe, puis on réduit : $$\begin{aligned} P(A)\times P(B)-P(A\cup B)\times P(A\cap B) &=(a+x)(b+x)-(a+b+x)x\\ &=ab+ax+bx+x^2-ax-bx-x^2=\boxed{ab} \end{aligned}$$ Or $a$ et $b$ sont des probabilités, donc positives : leur produit l'est aussi. $$\boxed{P(A\cup B)\times P(A\cap B)\leqslant P(A)\times P(B)}$$

4. L'égalité a lieu si et seulement si $ab=0$, c'est-à-dire si $a=0$ ou $b=0$ : l'un des deux événements $A\cap\overline{B}$ ou $\overline{A}\cap B$ a une probabilité nulle. C'est le cas notamment lorsque $A$ est inclus dans $B$, ou $B$ dans $A$. $$\boxed{\text{Égalité si et seulement si } P\left(A\cap\overline{B}\right)=0 \text{ ou } P\left(\overline{A}\cap B\right)=0}$$ Par exemple, avec $A$ « obtenir $6$ » et $B$ « obtenir $5$ ou $6$ », on a $A\subset B$, et les deux produits valent $\dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{18}$. ✓

5. Si $P(A\cup B)=0{,}8$, l'inégalité de la question 3 donne $0{,}8\times P(A\cap B)\leqslant 0{,}24$, d'où : $$\boxed{P(A\cap B)\leqslant\frac{0{,}24}{0{,}8}=0{,}3}$$ Cette borne est atteinte, par exemple lorsque $A\subset B$ avec $P(A)=0{,}3$ et $P(B)=0{,}8$.

Remarque. Tout le travail tient dans le choix des inconnues $a$, $b$ et $x$, adaptées au découpage de $A\cup B$ en morceaux incompatibles : exprimées avec $P(A)$, $P(B)$ et $P(A\cap B)$, les mêmes quantités n'auraient rien laissé voir. Enfin, lorsque $A$ et $B$ sont indépendants, comme ceux de l'exercice 1, on a $P(A)\times P(B)=P(A\cap B)$ : l'inégalité se réduit alors à $P(A\cup B)\leqslant 1$ et n'apprend rien. Elle n'a d'intérêt que pour des événements qui ne sont pas indépendants.