Exercice 30

1. Pour aller de $A(0\,;0)$ à $B(5\,;3)$, le livreur doit progresser de $5$ unités vers la droite et de $3$ unités vers le haut. Comme chaque déplacement vaut exactement une unité dans l'une des deux directions : $$\boxed{\text{tout chemin comporte } 5+3=8 \text{ déplacements, dont } 5 \text{ vers la droite}}$$

2. Un chemin est entièrement décrit par la donnée des étapes qui sont des déplacements vers la droite : les autres sont nécessairement vers le haut. Il s'agit donc de choisir $5$ étapes parmi les $8$, sans tenir compte de l'ordre — c'est une combinaison. $$\binom{8}{5}=\binom{8}{3}=\frac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1} =\boxed{56 \text{ chemins}}$$

3. Un nœud ne peut être atteint qu'en venant de celui situé immédiatement à sa gauche ou de celui situé immédiatement en dessous : le nombre de chemins qui y mènent est donc la somme de ces deux nombres.

On lit bien $56$ en $B$. Cette règle de construction est exactement la relation de Pascal : $$\binom{n}{p}+\binom{n}{p+1}=\binom{n+1}{p+1}$$

$$\boxed{\text{Le tableau des chemins est un triangle de Pascal, présenté en diagonale}}$$ On y retrouve d'ailleurs les lignes du triangle : $1$, $2$, $3$, $4$… puis $1$, $3$, $6$, $10$… qui sont les nombres triangulaires.

4. Le trajet se décompose en deux étapes indépendantes, que le principe multiplicatif permet de combiner.

De $A(0\,;0)$ à $C(2\,;1)$ : $3$ déplacements dont $2$ vers la droite, soit $\dbinom{3}{2}=3$ chemins.

De $C(2\,;1)$ à $B(5\,;3)$ : il reste $3$ unités vers la droite et $2$ vers le haut, soit $5$ déplacements dont $3$ vers la droite, donc $\dbinom{5}{3}=10$ chemins. $$3\times 10=\boxed{30 \text{ chemins passent par } C}$$

5. Par passage au complémentaire : $$56-30=\boxed{26 \text{ chemins évitent } C}$$

6. Le raisonnement de la question 2 se transpose sans changement : un chemin comporte $p+q$ déplacements, dont $p$ vers la droite. $$\boxed{\text{Il existe } \binom{p+q}{p} \text{ chemins allant de l'origine au point } (p\,;q)}$$ On remarquera que $\dbinom{p+q}{p}=\dbinom{p+q}{q}$ : compter les déplacements vers la droite ou vers le haut revient au même, ce qui est cohérent avec la symétrie du problème.