Feuille d'exercicesTerminale, chapitre 7

Dénombrement

38 exercices corrigés · 11 19 6 2

Cardinal et principes de base

Exercice 1 Déterminer le cardinal de chacun des ensembles suivants. 1. A=1;2;3;…;20 2. B est l'ensemble des diviseurs positifs de 36. 3. C est l'ensemble des…
Exercice 2 1. On donne Card(A)=15, Card(B)=12 et Card(A∩ B)=5. Calculer Card(A∪ B). 2. On donne Card(A)=20, Card(B)=13 et A∩ B=∅. Calculer Card(A∪ B). 3. On…
Exercice 3 Dans une classe de 32 élèves, 18 pratiquent un sport en club, 14 font de la musique, et 6 font les deux. 1. Représenter la situation par un…
Exercice 4 Dans chaque cas, dénombrer les possibilités à l'aide du principe multiplicatif. 1. Un restaurant propose 3 entrées, 5 plats et 4 desserts. Combien…
Exercice 5 1. On lance une pièce trois fois de suite et l'on note à chaque fois le résultat. (a) Construire l'arbre représentant cette expérience. (b) Combien…
Exercice 6 On s'intéresse aux nombres entiers de trois chiffres, c'est-à-dire compris entre 100 et 999. 1. Combien y a-t-il de tels nombres ? On justifiera par…

Exercice 7 Dénombrer les possibilités dans chacune des situations suivantes, en identifiant à chaque fois l'ensemble de départ et la longueur de la liste. 1.…
Exercice 8 On considère les codes formés de 4 chiffres. Combien y en a-t-il: 1. au total ? 2. commençant par 0 ? 3. ne contenant aucun 0 ? 4. contenant au…
Exercice 9 Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher, dont 4 rouges et 6 vertes. On tire successivement, avec remise, 5 boules de cette urne. 1.…

Exercice 10 1. Calculer 5!, 7!, 1! et 0!. 2. Simplifier les quotients suivants sans calculatrice. (a) (8!)/(6!) (b) (10!)/(8!) (c) (100!)/(98!) (d)…
Exercice 11 1. De combien de façons peut-on ranger 5 livres différents sur une étagère ? 2. De combien de façons 8 personnes peuvent-elles se placer en file…
Exercice 12 1. Six personnes, dont Alice et Bob, s'installent en file. (a) Combien y a-t-il de dispositions au total ? (b) Combien de dispositions placent Alice…
Exercice 13 Dénombrer les possibilités dans chacune des situations suivantes. 1. Le tiercé dans l'ordre d'une course de 20 chevaux. 2. Le podium d'une finale…
Exercice 14 Un club compte 25 membres, parmi lesquels M. Dupont. On élit un bureau composé d'un président, d'un secrétaire et d'un trésorier, ces trois…
Exercice 15 Une urne contient 12 boules numérotées de 1 à 12. On en prélève 4. Dénombrer les résultats possibles selon le mode de tirage. 1. Tirage successif…

Exercice 16 Calculer les coefficients binomiaux suivants, sans calculatrice lorsque c'est possible. a) dbinom 52 b) dbinom 70 c) dbinom 77 d) dbinom 101 e)…
Exercice 17 Dénombrer les possibilités dans chacune des situations suivantes. On justifiera à chaque fois que l'ordre n'intervient pas. 1. Un comité de 4…
Exercice 18 Une classe compte 30 élèves, dont 18 filles et 12 garçons. On forme un groupe de travail de 5 élèves. 1. Combien de groupes différents peut-on…
Exercice 19 1. Vérifier par le calcul que dbinom 93=dbinom 96. 2. Vérifier par le calcul la relation de Pascal dbinom 72+dbinom 73=dbinom 83. 3. Construire les…
Exercice 20 Dans cet exercice, n et p désignent deux entiers tels que 0≤ p≤ n. Toutes les démonstrations se mènent à partir de la formule dbinom n{p}= (n!)/(p!…
Exercice 21 On considère un jeu de 32 cartes, comportant 4 as et 8 cartes de chaque couleur. On tire simultanément 5 cartes: un tel tirage s'appelle une main.…
Exercice 22 Pour chacune des situations suivantes, préciser s'il s'agit d'un p -uplet, d'une permutation, d'un arrangement ou d'une combinaison, puis effectuer…

Exercice 23 · QCM Pour chaque question, une seule réponse est exacte. La justifier.
Exercice 24 · Vrai ou faux Chacune des affirmations suivantes est-elle vraie ou fausse ? Justifier la réponse: par une démonstration si l'affirmation est vraie, par un…
Exercice 25 · Type Bac Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher: 4 rouges et 6 vertes. On tire simultanément 3 boules de l'urne, et l'on suppose tous les…
Exercice 26 · Type Bac Un code d'accès est formé de 6 caractères, chacun choisi parmi les 26 lettres majuscules et les 10 chiffres. 1. Combien de codes différents peut-on…
Exercice 27 · Type Bac Une association compte 24 membres: 15 femmes et 9 hommes. Elle élit un conseil de 5 personnes, tous les conseils possibles étant équiprobables. 1.…
Exercice 28 · Type Bac Au Loto, une grille consiste à cocher 5 numéros parmi 49, puis un « numéro chance » parmi 10. L'ordre dans lequel les numéros sont cochés…
Exercice 29 Soit E un ensemble fini de cardinal n. On cherche à dénombrer les parties de E, c'est-à-dire les sous-ensembles de E, y compris ∅ et E lui-même. 1.…
Exercice 30 Un livreur se déplace dans une ville quadrillée. Il part du point A et doit rejoindre le point B, en n'avançant qu'vers la droite ou vers le haut,…

Exercice 31 Soit n un entier naturel non nul. 1. Donner une forme simple de Σ_(k=1)^nk× k!. On pourra utiliser l'égalité k× k!=(k+1)!-k!. 2. Par une méthode…
Exercice 32 Soit n un entier naturel non nul. Quelle est la moyenne des cardinaux des parties de 1;2;…;n ?
Exercice 33 On lance trois dés non pipés. Montrer que la probabilité d'amener un total inférieur ou égal à 10 est 1/2. On essaiera de donner un argument ne…
Exercice 34 Monotonie des coefficients binomiaux. Soit n un entier naturel non nul, et m le plus grand entier inférieur ou égal à n/2. 1. Pour 0≤ p≤ n-1,…
Exercice 35 La formule du binôme. 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n et pour tous réels a et b: (a+b)^n=Σ_(k=0)^nbinom n{k}a^(n-k)b^k…
Exercice 36 Pour n∈ℕ et x∈ℝ, donner une expression simple de la somme Σ_(k=0)^nbinom n{k} (x^(k+1))/(k+1)
Exercice 37 Identités de Vandermonde. Soit n un entier naturel. 1. Établir par un raisonnement combinatoire que Σ_(k=0)^nbinom n{k}^2=binom 2n{n} 2. Plus…
Exercice 38 Problème des boîtes d'allumettes de Banach. Soient n∈ℕ^() et k∈0;1;…;n. Un mathématicien a deux boîtes de n allumettes, une dans chaque poche.…