Exercice 27 Type Bac

1. Un conseil est une partie de $5$ éléments parmi $24$ : $$\binom{24}{5}=\boxed{42\,504 \text{ conseils}}$$

2. $$\binom{15}{5}=\boxed{3\,003 \text{ conseils}}$$

3. $$\binom{15}{3}\times\binom{9}{2}=455\times 36=\boxed{16\,380 \text{ conseils}}$$

4. Le contraire est « aucune femme », c'est-à-dire cinq hommes parmi $9$ : $$42\,504-\binom{9}{5}=42\,504-126=\boxed{42\,378 \text{ conseils}}$$

5. $$p=\frac{16\,380}{42\,504}\approx\boxed{0{,}385}$$

6. Trois fonctions distinctes attribuées à trois des cinq membres : l'ordre compte, c'est un arrangement. $$A_{5}^{3}=5\times 4\times 3=\boxed{60 \text{ répartitions}}$$

7. Le principe multiplicatif combine les deux étapes : $$42\,504\times 60=\boxed{2\,550\,240 \text{ configurations}}$$

Cet exercice illustre la complémentarité des deux outils : la combinaison pour désigner qui siège, l'arrangement pour décider quel rôle chacun occupe.