Exercice 28 Type Bac

1. Le choix des $5$ numéros ignore l'ordre : c'est une combinaison. Le numéro chance est ensuite choisi parmi $10$, indépendamment, d'où le produit : $$\binom{49}{5}\times 10=1\,906\,884\times 10=\boxed{19\,068\,840 \text{ grilles}}$$

2. Une seule grille est gagnante parmi toutes celles possibles : $$p=\boxed{\frac{1}{19\,068\,840}\approx 5{,}2\times 10^{-8}}$$

3. Les $49$ numéros se répartissent en $5$ gagnants et $44$ perdants. Avoir exactement $4$ bons numéros, c'est en choisir $4$ parmi les $5$ gagnants et $1$ parmi les $44$ perdants : $$\binom{5}{4}\times\binom{44}{1}=5\times 44=\boxed{220 \text{ grilles}}$$

4. $$\binom{5}{3}\times\binom{44}{2}=10\times 946=\boxed{9\,460 \text{ grilles}}$$

5. Il faut ajouter les grilles à $5$ bons numéros, au nombre de $\dbinom{5}{5}=1$ : $$p=\frac{9\,460+220+1}{1\,906\,884}=\frac{9\,681}{1\,906\,884} \approx\boxed{0{,}005\,077}$$ Environ une grille sur $197$ comporte au moins trois bons numéros.

6. Une sélection de $10$ numéros contient exactement $\dbinom{10}{5}$ grilles de $5$ numéros : $$\binom{10}{5}=\boxed{252 \text{ grilles}}$$

$$\boxed{\text{L'affirmation est fausse : les chances sont multipliées par } 252, \text{ non par } 2}$$ Le joueur raisonne comme si le nombre de chances était proportionnel au nombre de numéros cochés, alors qu'il l'est au nombre de parties de $5$ éléments que sa sélection contient. Ce serait évidemment $252$ fois plus cher.