Exercice 26 Type Bac

1. Un code est un $6$-uplet d'un ensemble à $26+10=36$ caractères : $$36^{6}=\boxed{2\,176\,782\,336 \text{ codes}}$$

2. Chaque caractère est choisi parmi les $26$ lettres : $$26^{6}=\boxed{308\,915\,776 \text{ codes}}$$

3. Le contraire de « au moins un chiffre » est « aucun chiffre », c'est-à-dire la question 2 : $$2\,176\,782\,336-308\,915\,776=\boxed{1\,867\,866\,560 \text{ codes}}$$

4. Les caractères étant distincts et l'ordre comptant, c'est un arrangement : $$A_{36}^{6}=36\times 35\times 34\times 33\times 32\times 31 =\boxed{1\,402\,410\,240 \text{ codes}}$$

5. $$p=\frac{1\,402\,410\,240}{2\,176\,782\,336}\approx\boxed{0{,}644}$$ Près de deux codes sur trois ont tous leurs caractères distincts, ce qui peut surprendre : malgré les six caractères, les répétitions restent minoritaires.

6. Le premier caractère offre $26$ choix, le dernier en offre $10$, et les quatre du milieu sont libres : $$26\times 36^{4}\times 10=\boxed{436\,700\,160 \text{ codes}}$$

7. Le temps nécessaire, en secondes, est le quotient du nombre de codes par la vitesse : $$\frac{2\,176\,782\,336}{10^{6}}\approx 2\,176{,}8 \text{ secondes}$$

$$\boxed{\text{Un tel code n'offre aucune sécurité contre une attaque automatisée}}$$ On mesure ici l'enjeu du dénombrement en cryptographie : allonger le code de deux caractères multiplierait ce temps par $36^{2}=1\,296$, soit près d'un mois.