Exercice 25 Type Bac

1. Un tirage simultané de $3$ boules parmi $10$ est une partie à $3$ éléments : $$\binom{10}{3}=\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=\boxed{120 \text{ tirages}}$$

2. Il faut choisir les $3$ boules parmi les $4$ rouges : $$P(R)=\frac{\dbinom{4}{3}}{120}=\frac{4}{120}=\boxed{\frac{1}{30}\approx 0{,}033}$$

3. On choisit $2$ rouges parmi $4$ et $1$ verte parmi $6$ : $$P(D)=\frac{\dbinom{4}{2}\times\dbinom{6}{1}}{120}=\frac{6\times 6}{120}=\frac{36}{120} =\boxed{\frac{3}{10}=0{,}3}$$

4. L'événement contraire de $M$ est « aucune boule rouge », c'est-à-dire trois vertes : $$P\left(\overline{M}\right)=\frac{\dbinom{6}{3}}{120}=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$$

5. Pour chaque valeur $k$, on choisit $k$ rouges parmi $4$ et $3-k$ vertes parmi $6$ :

On vérifie, en réduisant au dénominateur commun $30$ : $$\frac{5}{30}+\frac{15}{30}+\frac{9}{30}+\frac{1}{30}=\frac{30}{30}=\boxed{1}$$

6. $$E(X)=0\times\frac{1}{6}+1\times\frac{1}{2}+2\times\frac{3}{10} +3\times\frac{1}{30}=\frac{1}{2}+\frac{3}{5}+\frac{1}{10}=\boxed{\frac{6}{5}=1{,}2}$$

7. On calcule $3\times\dfrac{4}{10}=\dfrac{6}{5}$ : les deux nombres coïncident. $$\boxed{E(X)=n\times p \text{ où } p \text{ est la proportion de boules rouges}}$$ Ce n'est pas une coïncidence : cette égalité reste vraie pour un tirage sans remise. En revanche : $$\boxed{X \text{ ne suit pas une loi binomiale}}$$ En effet, les tirages ne sont pas indépendants : une fois une boule rouge sortie, il n'en reste que trois pour les tirages suivants. Seule l'espérance est commune aux deux modèles, pas la loi elle-même. On le vérifie sur $P(X=3)$ : ici $\dfrac{1}{30}\approx 0{,}033$, alors que la loi binomiale donnerait $0{,}4^{3}=0{,}064$.