ExerciceTerminale, chapitre 7 — Dénombrement · Exercices de synthèse

Exercice 24 Vrai ou faux

Vrai ou fauxDémonstration

Chacune des affirmations suivantes est-elle vraie ou fausse ? Justifier la réponse : par une démonstration si l'affirmation est vraie, par un contre-exemple sinon.

1. Pour tout entier $n\geqslant 1$ , $n!=n\times(n-1)!$ .

2. $0!=0$ .

3. Pour tous entiers $n$ et $p$ tels que $0\leqslant p\leqslant n$ , $\dbinom{n}{p}=\dbinom{n}{n-p}$ .

4. Pour tous entiers $n$ et $p$ tels que $0\leqslant p\leqslant n$ , $A_{n}^{p}=p!\times\dbinom{n}{p}$ .

5. Le nombre de $p$ -uplets d'un ensemble à $n$ éléments est $\dfrac{n!}{(n-p)!}$ .

6. Lorsque l'ordre ne compte pas et qu'aucune répétition n'est possible, on dénombre à l'aide d'un arrangement.

7. Pour tous ensembles finis $A$ et $B$ , $\mathrm{Card}(A\cup B)=\mathrm{Card}(A)+\mathrm{Card}(B)$ .

8. Pour tous entiers convenables, $\dbinom{n}{p}+\dbinom{n}{p+1}=\dbinom{n+1}{p+1}$ .

9. Le nombre de permutations d'un ensemble à $n$ éléments est égal à $A_{n}^{n}$ .

10. Un tirage simultané de $p$ objets parmi $n$ se dénombre à l'aide d'un arrangement.

Corrigé

1. Vraie. Par définition, $n!=1\times 2\times\dots\times(n-1)\times n$ , et les $n-1$ premiers facteurs forment exactement $(n-1)!$ .

2. Fausse. Par convention, $0!=1$ et non $0$ . Cette convention n'est pas arbitraire : elle rend valables les formules du cours, par exemple $A_{n}^{n}=\dfrac{n!}{(n-n)!}=\dfrac{n!}{0!}=n!$ , ce qui est bien le nombre de permutations.

3. Vraie. C'est la propriété démontrée à l'exercice 20. Elle traduit le fait que choisir les $p$ éléments retenus revient à choisir les $n-p$ éléments écartés.

4. Vraie. C'est la démonstration du théorème 2 : un arrangement s'obtient en choisissant d'abord la partie ( $\dbinom{n}{p}$ possibilités), puis l'ordre ( $p!$ possibilités).

5. Fausse. C'est la formule des arrangements. Le nombre de $p$ -uplets est $n^{p}$ . Contre-exemple avec $n=3$ et $p=2$ : il y a $3^{2}=9$ couples, alors que $\dfrac{3!}{1!}=6$ .

6. Fausse. C'est au contraire une combinaison. L'arrangement correspond au cas où l'ordre compte.

7. Fausse. Cette égalité n'est vraie que si $A$ et $B$ sont disjoints. Contre-exemple avec $A=\{1\,;2\}$ et $B=\{2\,;3\}$ : $\mathrm{Card}(A\cup B)=\mathrm{Card}\left(\{1\,;2\,;3\}\right)=3 \qquad \text{alors que} \qquad 2+2=4$ La formule générale est $\mathrm{Card}(A\cup B)=\mathrm{Card}(A)+\mathrm{Card}(B) -\mathrm{Card}(A\cap B)$ .

8. Vraie. C'est la relation de Pascal, démontrée à l'exercice 20. C'est elle qui permet de construire le triangle de Pascal de proche en proche.

9. Vraie. En effet $A_{n}^{n}=\dfrac{n!}{(n-n)!}=\dfrac{n!}{0!}=n!$ , qui est bien le nombre de permutations. Une permutation n'est qu'un arrangement de tous les éléments.

10. Fausse. Un tirage simultané ne distingue pas l'ordre : il se dénombre par une combinaison. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

Énoncé PDF, p. 7 Corrigé PDF, p. 13 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Ensembles finis et principe des tiroirs Existence du produit cartésien

Thèmes

cardinal, réunion et intersection, p-uplets, factorielle, permutations, arrangements, combinaisons

Notions

cardinal, ensemble fini, produit cartésien