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ExerciceTerminale, chapitre 7 — Dénombrement · Permutations et arrangements

Exercice 12

Calcul

1. Six personnes, dont Alice et Bob, s'installent en file.

(a) Combien y a-t-il de dispositions au total ?

(b) Combien de dispositions placent Alice et Bob côte à côte ?

On pourra considérer qu'Alice et Bob forment un seul bloc, sans oublier qu'ils peuvent s'échanger à l'intérieur de ce bloc.

(c) En déduire le nombre de dispositions où ils ne sont pas côte à côte.

2. Trois filles et trois garçons s'installent en file, en alternant les sexes. Combien de dispositions sont possibles ?

3. On range 55 livres sur une étagère, dont 22 livres de mathématiques qui doivent rester l'un à côté de l'autre. Combien de rangements sont possibles ?

Corrigé

1. (a) 6!=720 dispositions6!=\boxed{720 \text{ dispositions}}

(b) On considère Alice et Bob comme un seul bloc. Il reste alors 55 objets à ordonner : le bloc et les quatre autres personnes, soit 5!5! dispositions. Mais à l'intérieur du bloc, Alice et Bob peuvent permuter, ce qui double le décompte : 5!×2=120×2=240 dispositions5!\times 2=120\times 2=\boxed{240 \text{ dispositions}}

(c) Par passage au complémentaire : 720−240=480 dispositions720-240=\boxed{480 \text{ dispositions}}

2. Deux configurations sont possibles : soit une fille occupe la première place, soit un garçon. Chacune fixe entièrement l'alternance. Dans les deux cas, on ordonne librement les trois filles entre elles et les trois garçons entre eux : 2×3!×3!=2×6×6=72 dispositions2\times 3!\times 3!=2\times 6\times 6=\boxed{72 \text{ dispositions}}

3. Même raisonnement qu'en 1b, avec 44 objets à ordonner (le bloc de deux livres de mathématiques et les trois autres livres) : 4!×2=24×2=48 rangements4!\times 2=24\times 2=\boxed{48 \text{ rangements}}

Énoncé PDF, p. 3Corrigé PDF, p. 6Toute la feuilleLe cours

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