Exercice 18

1. Un groupe est une partie de $5$ éléments parmi $30$ : $$\binom{30}{5}=\boxed{142\,506 \text{ groupes}}$$

2. On choisit les $5$ élèves parmi les $18$ filles : $$\binom{18}{5}=\boxed{8\,568 \text{ groupes}}$$

3. Deux choix indépendants se combinent par le principe multiplicatif : les $3$ filles parmi $18$, puis les $2$ garçons parmi $12$. $$\binom{18}{3}\times\binom{12}{2}=816\times 66=\boxed{53\,856 \text{ groupes}}$$

4. Le complémentaire de « au moins un garçon » est « aucun garçon », c'est-à-dire la question 2 : $$142\,506-8\,568=\boxed{133\,938 \text{ groupes}}$$

5. On choisit le garçon parmi $12$, puis les $4$ filles parmi $18$ : $$\binom{12}{1}\times\binom{18}{4}=12\times 3\,060=\boxed{36\,720 \text{ groupes}}$$