ExerciceTerminale, chapitre 7 — Dénombrement · Combinaisons

Exercice 19

ConjectureCalcul

1. Vérifier par le calcul que $\dbinom{9}{3}=\dbinom{9}{6}$ .

2. Vérifier par le calcul la relation de Pascal $\dbinom{7}{2}+\dbinom{7}{3}=\dbinom{8}{3}$ .

3. Construire les huit premières lignes du triangle de Pascal, c'est-à-dire celles allant de $n=0$ à $n=7$ .

4. Y lire les valeurs de $\dbinom{6}{2}$ et de $\dbinom{7}{4}$ .

5. Calculer la somme des coefficients de chaque ligne. Quelle conjecture peut-on formuler ?

Corrigé

1. $\binom{9}{3}=\frac{9\times 8\times 7}{3\times 2\times 1}=84 \qquad ; \qquad \binom{9}{6}=\frac{9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4}{6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}=84$

\boxed{\binom{9}{3}=\binom{9}{6}=84}

2. $\binom{7}{2}=21 \qquad ; \qquad \binom{7}{3}=35 \qquad ; \qquad \binom{8}{3}=56$

\boxed{21+35=56}

3. Chaque ligne commence et se termine par $1$ , et tout coefficient intérieur est la somme des deux situés juste au-dessus de lui : c'est la relation de Pascal.

\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline n\ \backslash\ p & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline 0 & 1 & & & & & & & \\ \hline 1 & 1 & 1 & & & & & & \\ \hline 2 & 1 & 2 & 1 & & & & & \\ \hline 3 & 1 & 3 & 3 & 1 & & & & \\ \hline 4 & 1 & 4 & 6 & 4 & 1 & & & \\ \hline 5 & 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 & & \\ \hline 6 & 1 & 6 & 15 & 20 & 15 & 6 & 1 & \\ \hline 7 & 1 & 7 & 21 & 35 & 35 & 21 & 7 & 1 \\ \hline \end{array}

4. On lit à l'intersection de la ligne et de la colonne : $\boxed{\binom{6}{2}=15} \qquad ; \qquad \boxed{\binom{7}{4}=35}$

5. Les sommes successives valent $1$ , $2$ , $4$ , $8$ , $16$ , $32$ , $64$ et $128$ : ce sont les puissances de $2$ . $\boxed{\text{Conjecture : } \sum_{p=0}^{n}\binom{n}{p}=2^{n}}$ Cette conjecture est démontrée à l'exercice 29.

Énoncé PDF, p. 5 Corrigé PDF, p. 9 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Binôme de Newton et coefficients binomiaux

Thèmes

combinaisons, triangle de pascal