Exercice 20

1. $$\binom{n}{0}=\frac{n!}{0!\,(n-0)!}=\frac{n!}{1\times n!}=\boxed{1}$$

2. On applique la formule en remplaçant $p$ par $n-p$ : $$\binom{n}{n-p}=\frac{n!}{(n-p)!\,\big(n-(n-p)\big)!}=\frac{n!}{(n-p)!\,p!}$$ On reconnaît exactement l'expression de $\dbinom{n}{p}$, les deux facteurs du dénominateur étant simplement échangés. $$\boxed{\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}}$$ Interprétation : choisir les $p$ éléments que l'on garde revient à choisir les $n-p$ que l'on écarte.

3. On réduit les deux fractions au même dénominateur : $$\begin{aligned} \binom{n}{p}+\binom{n}{p+1} &= \frac{n!}{p!\,(n-p)!}+\frac{n!}{(p+1)!\,(n-p-1)!} \\ &= \frac{n!\,(p+1)}{(p+1)!\,(n-p)!}+\frac{n!\,(n-p)}{(p+1)!\,(n-p)!} \\ &= \frac{n!\,\big[(p+1)+(n-p)\big]}{(p+1)!\,(n-p)!} = \frac{n!\,(n+1)}{(p+1)!\,(n-p)!} \end{aligned}$$ Or $n!\,(n+1)=(n+1)!$ et $n-p=(n+1)-(p+1)$ : $$\boxed{\binom{n}{p}+\binom{n}{p+1}=\frac{(n+1)!}{(p+1)!\,\big((n+1)-(p+1)\big)!} =\binom{n+1}{p+1}}$$

4. On part du membre de gauche : $$p\,\binom{n}{p}=p\times\frac{n!}{p!\,(n-p)!}=\frac{n!}{(p-1)!\,(n-p)!}$$ puisque $p!=p\times(p-1)!$. On développe ensuite le membre de droite : $$n\,\binom{n-1}{p-1}=n\times\frac{(n-1)!}{(p-1)!\,(n-p)!}=\frac{n!}{(p-1)!\,(n-p)!}$$ en remarquant que $(n-1)-(p-1)=n-p$. Les deux membres sont égaux : $$\boxed{p\,\binom{n}{p}=n\,\binom{n-1}{p-1}}$$

5. Les deux membres comptent la même chose de deux façons différentes. $$\boxed{\begin{array}{l} \text{À gauche : on choisit le comité, puis son président parmi ses } p \text{ membres.} \\[2mm] \text{À droite : on choisit le président, puis les } p-1 \text{ autres membres.} \end{array}}$$ C'est un raisonnement de double dénombrement : compter un même ensemble de deux manières fournit une identité, sans aucun calcul de factorielles.