Exercice 35

1. Pour $n\in\mathbb{N}$, notons $\mathcal{P}_{n}$ la propriété : « pour tous réels $a$ et $b$, $(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k}$ ».

Initialisation : pour $n=0$, les deux membres valent $1$, puisque $\binom{0}{0}=1$ : $\mathcal{P}_{0}$ est vraie.

Hérédité : supposons $\mathcal{P}_{n}$ vraie pour un entier $n$, et soient $a$ et $b$ deux réels. Alors $$(a+b)^{n+1}=(a+b)(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n+1-k}b^{k} +\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k+1}$$ Dans la seconde somme, on pose $j=k+1$, qui varie de $1$ à $n+1$ : $\sum_{j=1}^{n+1}\binom{n}{j-1}a^{n+1-j}b^{j}$. On regroupe alors les termes de même puissance de $b$ : le terme en $b^{0}$ vient de la première somme seule, le terme en $b^{n+1}$ de la seconde seule, et pour $1\leqslant j\leqslant n$ on additionne les deux contributions : $$(a+b)^{n+1}=a^{n+1}+\sum_{j=1}^{n}\left(\binom{n}{j}+\binom{n}{j-1}\right)a^{n+1-j}b^{j} +b^{n+1}$$ La relation de Pascal (exercice 20) donne $\binom{n}{j-1}+\binom{n}{j}=\binom{n+1}{j}$, et l'on a $\binom{n+1}{0}=\binom{n+1}{n+1}=1$. Il vient $(a+b)^{n+1}=\sum_{j=0}^{n+1}\binom{n+1}{j}a^{n+1-j}b^{j}$ : $\mathcal{P}_{n+1}$ est vraie.

Conclusion : par récurrence, $\mathcal{P}_{n}$ est vraie pour tout entier naturel $n$. $$\boxed{(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k}}$$ Remarque. C'est la raison du nom de « coefficients binomiaux » : ce sont les coefficients du développement d'une puissance du binôme $a+b$. Le triangle de Pascal de l'exercice 19 se lit ainsi : $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$ correspond à la ligne $1$, $3$, $3$, $1$.

2. Avec $a=b=1$, on obtient $\boxed{\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^{n}}$, ce qui redonne l'exercice 29 par une autre voie. Avec $a=1$ et $b=-1$, pour $n\geqslant 1$ : $$\boxed{\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\binom{n}{k}=(1-1)^{n}=0}$$ Pour $n=0$, cette seconde somme vaudrait $1$, puisque $0^{0}=1$ par convention : c'est pourquoi on a supposé $n\geqslant 1$.

3. Dans la somme alternée, les termes d'indice pair sont comptés avec le signe $+$ et ceux d'indice impair avec le signe $-$ : elle vaut donc $A_{n}-B_{n}$. La première somme vaut $A_{n}+B_{n}$. On a ainsi $$A_{n}+B_{n}=2^{n}\qquad\text{et}\qquad A_{n}-B_{n}=0$$ d'où, en ajoutant puis en soustrayant : $$\boxed{A_{n}=B_{n}=2^{n-1}}$$ Interprétation. $A_{n}$ est le nombre de parties de cardinal pair d'un ensemble à $n$ éléments : c'est la conjecture formulée à la question 6 de l'exercice 29, désormais démontrée. Exactement la moitié des parties ont un cardinal pair.