Exercice 34

1. Pour $0\leqslant p\leqslant n-1$, avec la formule factorielle : $$\frac{\binom{n}{p+1}}{\binom{n}{p}}=\frac{n!}{(p+1)!\,(n-p-1)!}\times\frac{p!\,(n-p)!}{n!} =\frac{n-p}{p+1}$$ car $(p+1)!=(p+1)\times p!$ et $(n-p)!=(n-p)\times(n-p-1)!$. Ce quotient est supérieur ou égal à $1$ si et seulement si $n-p\geqslant p+1$, c'est-à-dire $p\leqslant\frac{n-1}{2}$. $$\boxed{\frac{\binom{n}{p+1}}{\binom{n}{p}}\geqslant 1 \iff p\leqslant\frac{n-1}{2}}$$

2. Si $p\leqslant m-1$, alors $p+1\leqslant m\leqslant\frac{n}{2}$, donc $p\leqslant\frac{n}{2}-1<\frac{n-1}{2}$ : d'après la question 1, $\binom{n}{p}\leqslant\binom{n}{p+1}$. En appliquant ceci pour $p=0$, $1$, …, $m-1$ : $$\boxed{\binom{n}{0}\leqslant\binom{n}{1}\leqslant\dots\leqslant\binom{n}{m}}$$ Par symétrie, $\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}$, les coefficients décroissent ensuite jusqu'à $\binom{n}{n}$ : la ligne $n$ du triangle de Pascal monte puis descend, et son plus grand terme est $\binom{n}{m}$, le coefficient « central ».

3. Les $n+1$ nombres $\binom{n}{0}$, …, $\binom{n}{n}$ sont positifs, leur somme vaut $2^{n}$ (exercice 29) et le plus grand d'entre eux est $\binom{n}{m}$. D'une part, ce plus grand terme est inférieur à la somme ; d'autre part, il est supérieur à la moyenne $\frac{2^{n}}{n+1}$, sans quoi tous les termes seraient strictement inférieurs à la moyenne, et leur somme strictement inférieure à $2^{n}$. $$\boxed{\frac{2^{n}}{n+1}\leqslant\binom{n}{m}\leqslant 2^{n}}$$

Ce diagramme des coefficients $\binom{10}{k}$ montre qu'ils croissent jusqu'au terme central, puis décroissent symétriquement ; le maximum $252$ dépasse bien la moyenne $\frac{1\,024}{11}$, comme l'affirme la question 3.

Remarque. L'encadrement est grossier mais donne le bon ordre de grandeur exponentiel : pour $n=100$, il situe $\binom{100}{50}\approx 1{,}01\times 10^{29}$ entre $1{,}26\times 10^{28}$ et $1{,}27\times 10^{30}$. Une estimation beaucoup plus précise, la formule de Stirling, est étudiée après le baccalauréat.