Exercice 36

D'après la formule du binôme (exercice 35, avec $a=1$ et $b=t$), pour tout réel $t$ : $$(1+t)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}t^{k}$$ Les deux membres sont des fonctions continues de $t$ ; on les intègre entre $0$ et $x$, comme au chapitre 6. À gauche, une primitive de $t\mapsto(1+t)^{n}$ est $t\mapsto\frac{(1+t)^{n+1}}{n+1}$ ; à droite, par linéarité, chaque terme $t^{k}$ s'intègre en $\frac{x^{k+1}}{k+1}$ : $$\int_{0}^{x}(1+t)^{n}\,\mathrm{d}t=\frac{(1+x)^{n+1}-1}{n+1} \qquad\text{et}\qquad \int_{0}^{x}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}t^{k}\,\mathrm{d}t=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \frac{x^{k+1}}{k+1}$$

$$\boxed{\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{x^{k+1}}{k+1}=\frac{(1+x)^{n+1}-1}{n+1}}$$ Cas particuliers. Pour $x=1$, on obtient $\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k+1}\binom{n}{k}=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}$ ; pour $n=2$, par exemple, $1+\frac{2}{2}+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$. Pour $x=-1$, la somme $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{(-1)^{k+1}}{k+1}$ vaut $-\frac{1}{n+1}$.

Remarque. On peut aussi éviter l'intégration. D'après la question 4 de l'exercice 20 appliquée à $n+1$ et $k+1$, on a $\frac{1}{k+1}\binom{n}{k}=\frac{1}{n+1}\binom{n+1}{k+1}$, et la somme devient $\frac{1}{n+1}\sum_{j=1}^{n+1}\binom{n+1}{j}x^{j}$, que la formule du binôme appliquée à $(1+x)^{n+1}$ permet de reconnaître. Les deux méthodes, l'une analytique et l'autre combinatoire, se confirment mutuellement.