Exercice 37

1. Considérons un groupe de $2n$ personnes, formé de $n$ filles et de $n$ garçons, dans lequel on choisit un comité de $n$ personnes. Il y a $\binom{2n}{n}$ comités. Comptons-les autrement, selon le nombre $k$ de filles qu'ils contiennent, qui varie de $0$ à $n$. Un comité à $k$ filles s'obtient en choisissant $k$ filles parmi $n$, puis $n-k$ garçons parmi $n$ : il y en a $\binom{n}{k}\binom{n}{n-k}=\binom{n}{k}^{2}$, par symétrie. Ces cas étant deux à deux disjoints, le principe additif donne : $$\boxed{\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^{2}=\binom{2n}{n}}$$ Vérification : pour $n=3$, $1+9+9+1=20=\binom{6}{3}$.

2. Le même raisonnement s'applique à un groupe de $m$ filles et $n$ garçons, dans lequel on choisit un comité de $k$ personnes : il y en a $\binom{m+n}{k}$. Un comité contenant $j$ filles contient $k-j$ garçons ; comme $k\leqslant m$ et $k\leqslant n$, l'entier $j$ peut prendre toutes les valeurs de $0$ à $k$, et il y a $\binom{m}{j}\binom{n}{k-j}$ tels comités. $$\boxed{\sum_{j=0}^{k}\binom{m}{j}\binom{n}{k-j}=\binom{m+n}{k}}$$ La question 1 est le cas $m=n=k$.

3. D'après la formule du binôme, le coefficient de $x^{n}$ dans $(1+x)^{2n}$ est $\binom{2n}{n}$. D'autre part, $$\left((1+x)^{n}\right)^{2}=\left(\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}x^{j}\right) \left(\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}x^{i}\right)$$ En développant ce produit, on obtient un terme en $x^{n}$ pour chaque couple d'indices tels que $i+j=n$, c'est-à-dire $i=n-j$, avec $j$ variant de $0$ à $n$ ; le coefficient de $x^{n}$ vaut donc $\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}\binom{n}{n-j}=\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}^{2}$. Les deux expressions étant égales pour tout réel $x$, leurs coefficients de $x^{n}$ sont égaux, ce qui redonne le résultat de la question 1.

Remarque. Les deux démonstrations ne se ressemblent pas, mais elles disent la même chose : développer un produit de deux puissances de $(1+x)$, c'est choisir une partie dans chacun de deux groupes. Les identités de ce type portent le nom de Vandermonde, qui les a publiées au XVIIIᵉ siècle.