ExerciceTerminale, chapitre 7 — Dénombrement · Combinaisons

Exercice 22

Démonstration

Pour chacune des situations suivantes, préciser s'il s'agit d'un $p$ -uplet, d'une permutation, d'un arrangement ou d'une combinaison, puis effectuer le dénombrement. On justifiera en répondant aux deux questions du récapitulatif du cours : les répétitions sont-elles autorisées ? l'ordre compte-t-il ?

1. Un code d'accès formé de $5$ chiffres.

2. Le podium d'une course réunissant $10$ concurrents.

3. L'élection de $3$ délégués parmi $30$ élèves, sans distinction de rôle.

4. Le rangement de $7$ livres sur une étagère.

5. Le tirage successif avec remise de $4$ boules dans une urne en contenant $15$ .

6. Une main de $5$ cartes dans un jeu de $52$ .

7. Une plaque formée de $2$ lettres distinctes suivies de $3$ chiffres distincts.

8. Le tirage successif sans remise de $3$ jetons parmi $10$ .

Corrigé

Situation	Répét.	Ordre	Nature	Dénombrement
1. Code de $5$ chiffres	oui	oui	$p$ -uplet	$10^{5}=100\,000$
2. Podium parmi $10$	non	oui	arrangement	$A_{10}^{3}=720$
3. $3$ délégués parmi $30$	non	non	combinaison	$\dbinom{30}{3}=4\,060$
4. Rangement de $7$ livres	non	oui	permutation	$7!=5\,040$
5. $4$ boules avec remise parmi $15$	oui	oui	$p$ -uplet	$15^{4}=50\,625$
6. Main de $5$ cartes sur $52$	non	non	combinaison	$\dbinom{52}{5}=2\,598\,960$
7. $2$ lettres puis $3$ chiffres, tous distincts	non	oui	deux arrangements	$A_{26}^{2}\times A_{10}^{3}=468\,000$
8. $3$ jetons sans remise parmi $10$	non	oui	arrangement	$A_{10}^{3}=720$

Deux remarques. La situation 4 est un cas particulier d'arrangement, celui où l'on ordonne tous les éléments : $A_{7}^{7}=7!$ . La situation 7 combine deux dénombrements indépendants, que le principe multiplicatif permet de multiplier : $A_{26}^{2}=650$ pour les lettres et $A_{10}^{3}=720$ pour les chiffres.

On comparera enfin les situations 2 et 8 : ce sont deux problèmes de nature très différente, mais leur dénombrement est identique. Choisir un podium parmi $10$ concurrents ou tirer successivement $3$ jetons sur $10$ , c'est deux fois choisir $3$ objets ordonnés et distincts.

Énoncé PDF, p. 6 Corrigé PDF, p. 12 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Existence du produit cartésien

Thèmes

principe multiplicatif, p-uplets, permutations, arrangements, combinaisons

Notions

produit cartésien