ExerciceTerminale, chapitre 7 — Dénombrement · Listes et $p$ -uplets

Exercice 7

Calcul

Dénombrer les possibilités dans chacune des situations suivantes, en identifiant à chaque fois l'ensemble de départ et la longueur de la liste.

1. Un code d'accès formé de $4$ chiffres.

2. Un mot de passe de $6$ caractères choisis parmi les $26$ lettres majuscules et les $10$ chiffres.

3. Un tirage successif avec remise de $5$ boules dans une urne en contenant $8$ .

4. Un « mot » de $3$ lettres, ayant un sens ou non.

5. Les réponses possibles à un questionnaire de $12$ questions offrant chacune $3$ choix.

Corrigé

Dans chaque cas les répétitions sont autorisées et l'ordre compte : il s'agit de $p$ -uplets, dénombrés par $n^{p}$ .

1. $4$ -uplet de $\{0\,;1\,;\dots\,;9\}$ , qui compte $10$ éléments : $10^{4}=\boxed{10\,000 \text{ codes}}$

2. $6$ -uplet d'un ensemble à $26+10=36$ caractères : $36^{6}=\boxed{2\,176\,782\,336 \text{ mots de passe}}$

3. Avec remise, chaque tirage se fait parmi les mêmes $8$ boules : $8^{5}=\boxed{32\,768 \text{ tirages}}$

4. $3$ -uplet de l'alphabet : $26^{3}=\boxed{17\,576 \text{ mots}}$

5. $12$ -uplet d'un ensemble à $3$ éléments : $3^{12}=\boxed{531\,441 \text{ grilles}}$

p-uplets