Exercice 6

1. Un nombre de trois chiffres s'écrit $\overline{abc}$, où $a$ ne peut pas être nul. $$\underbrace{9}_{a\in\{1;\dots;9\}}\times\underbrace{10}_{b}\times\underbrace{10}_{c} =\boxed{900 \text{ nombres}}$$ On le vérifie autrement : il y a $999-100+1=900$ entiers de $100$ à $999$.

2. Le nombre est pair si son chiffre des unités appartient à $\{0\,;2\,;4\,;6\,;8\}$ : $$9\times 10\times 5=\boxed{450 \text{ nombres}}$$

3. Les trois chiffres doivent être distincts. Il reste $9$ choix pour $a$, puis $9$ pour $b$ (les dix chiffres sauf $a$, et $0$ redevient autorisé), puis $8$ pour $c$ : $$9\times 9\times 8=\boxed{648 \text{ nombres}}$$

4. Ici deux contraintes se croisent, et il faut distinguer deux cas selon le chiffre des unités.

Premier cas : $c=0$. Il reste $9$ choix pour $a$, puis $8$ pour $b$ : $$1\times 9\times 8=72$$

Second cas : $c\in\{2\,;4\,;6\,;8\}$, soit $4$ possibilités. Le chiffre $a$ doit être non nul et différent de $c$, ce qui laisse $8$ choix ; puis $b$ doit différer de $a$ et de $c$, ce qui laisse $8$ choix : $$4\times 8\times 8=256$$

Ces deux cas étant disjoints, le principe additif donne : $$72+256=\boxed{328 \text{ nombres}}$$

Le piège de la question 4 est de traiter les deux contraintes simultanément sans distinguer les cas : si l'on choisit $c$ parmi $5$ puis $a$ parmi $8$, on oublie que lorsque $c=0$, le chiffre $a$ dispose en réalité de $9$ possibilités.