Exercice 31

1. On vérifie l'égalité proposée : $(k+1)!-k!=(k+1)\times k!-k!=k\times k!$. La somme est donc télescopique : $$\sum_{k=1}^{n}k\times k!=\sum_{k=1}^{n}\Big((k+1)!-k!\Big) =\big(2!-1!\big)+\big(3!-2!\big)+\dots+\big((n+1)!-n!\big)$$ Tous les termes intermédiaires se simplifient, et il reste le dernier moins le premier : $$\boxed{\sum_{k=1}^{n}k\times k!=(n+1)!-1}$$ Vérification : pour $n=3$, $1+4+18=23=4!-1$.

2. On cherche à écrire $\dfrac{k}{(k+1)!}$ comme une différence de deux termes consécutifs. En écrivant $k=(k+1)-1$ : $$\frac{k}{(k+1)!}=\frac{k+1}{(k+1)!}-\frac{1}{(k+1)!}=\frac{1}{k!}-\frac{1}{(k+1)!}$$ puisque $(k+1)!=(k+1)\times k!$. La somme télescope de nouveau : $$\boxed{\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{(k+1)!}=\frac{1}{1!}-\frac{1}{(n+1)!}=1-\frac{1}{(n+1)!}}$$ Vérification : pour $n=2$, $\frac{1}{2}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}=1-\frac{1}{3!}$.

Remarque. Toute la difficulté est de deviner la décomposition télescopique, que le poly donne pour la première somme et laisse chercher pour la seconde. La seconde somme tend vers $1$ quand $n$ tend vers $+\infty$, puisque $(n+1)!$ tend vers $+\infty$ : c'est un exemple de somme infinie que l'on sait calculer exactement.