Exercice 9

1. Le tirage est successif avec remise : c'est un $5$-uplet d'un ensemble à $10$ éléments. $$10^{5}=\boxed{100\,000 \text{ tirages}}$$

2. Aucune boule rouge signifie que les cinq boules sont vertes, choisies parmi $6$ : $$6^{5}=\boxed{7\,776 \text{ tirages}}$$

3. Par passage au complémentaire : $$100\,000-7\,776=\boxed{92\,224 \text{ tirages}}$$

4. Les tirages étant équiprobables, la probabilité est le quotient du nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles : $$p=\frac{92\,224}{100\,000}\approx\boxed{0{,}922}$$

5. Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli de succès « obtenir une rouge », de probabilité $\dfrac{4}{10}=0{,}4$. Les cinq tirages étant indépendants grâce à la remise, le nombre $X$ de boules rouges suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0{,}4$. $$P(X\geqslant 1)=1-P(X=0)=1-(1-0{,}4)^{5}=1-0{,}6^{5}\approx 0{,}922$$

$$\boxed{\text{Les deux méthodes donnent le même résultat}}$$ On reconnaît d'ailleurs exactement le même calcul : $0{,}6^{5}=\dfrac{6^{5}}{10^{5}}$.