Exercice 10

1. $$5!=\boxed{120} \quad ; \quad 7!=\boxed{5\,040} \quad ; \quad 1!=\boxed{1} \quad ; \quad 0!=\boxed{1}$$ La valeur $0!=1$ est une convention, qui rend cohérentes les formules du chapitre.

2. On simplifie sans jamais calculer les factorielles complètes.

(a) $\dfrac{8!}{6!}=\dfrac{8\times 7\times 6!}{6!}=8\times 7=\boxed{56}$

(b) $\dfrac{10!}{8!}=10\times 9=\boxed{90}$

(c) $\dfrac{100!}{98!}=100\times 99=\boxed{9\,900}$

(d) $\dfrac{(n+1)!}{n!}=\dfrac{(n+1)\times n!}{n!}=\boxed{n+1}$

3. Pour $n\geqslant 2$, on écrit $n!=n\times(n-1)\times(n-2)!$ : $$\frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n\times(n-1)\times(n-2)!}{(n-2)!}=\boxed{n(n-1)}$$

4. D'après la question précédente appliquée à $n+1$ : $$\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=(n+1)\times n$$ On résout donc $n(n+1)=42$, c'est-à-dire $n^{2}+n-42=0$. Le discriminant vaut $\Delta=1+168=169$, d'où $\sqrt{\Delta}=13$ et : $$n=\frac{-1-13}{2}=-7 \qquad \text{ou} \qquad n=\frac{-1+13}{2}=6$$ Seule la solution positive convient : $\boxed{n=6}$