Exercice 15

1. Avec remise et avec ordre : c'est un $4$-uplet. $$12^{4}=\boxed{20\,736 \text{ tirages}}$$

2. Sans remise et avec ordre : c'est un arrangement. $$A_{12}^{4}=12\times 11\times 10\times 9=\boxed{11\,880 \text{ tirages}}$$

3. Un tirage simultané ignore l'ordre et interdit les répétitions : c'est une combinaison. $$\binom{12}{4}=\frac{12\times 11\times 10\times 9}{4\times 3\times 2\times 1} =\frac{11\,880}{24}=\boxed{495 \text{ tirages}}$$

4. $$495\times 4!=495\times 24=11\,880$$ L'égalité se comprend ainsi : se donner un tirage ordonné, c'est d'abord choisir quelles boules sortent — soit $\dbinom{12}{4}$ possibilités — puis dans quel ordre elles sortent, soit $4!$ possibilités. $$\boxed{A_{12}^{4}=\binom{12}{4}\times 4!}$$ C'est exactement la démonstration du théorème 2 du cours.