ExerciceTerminale, chapitre 7 — Dénombrement · Cardinal et principes de base

Exercice 2

Calcul

1. On donne $\mathrm{Card}(A)=15$ , $\mathrm{Card}(B)=12$ et $\mathrm{Card}(A\cap B)=5$ . Calculer $\mathrm{Card}(A\cup B)$ .

2. On donne $\mathrm{Card}(A)=20$ , $\mathrm{Card}(B)=13$ et $A\cap B=\varnothing$ . Calculer $\mathrm{Card}(A\cup B)$ .

3. On donne $\mathrm{Card}(A\cup B)=40$ , $\mathrm{Card}(A)=25$ et $\mathrm{Card}(B)=22$ . Calculer $\mathrm{Card}(A\cap B)$ .

4. $A$ est une partie d'un ensemble $E$ de cardinal $50$ , avec $\mathrm{Card}(A)=18$ . On note $\overline{A}$ l'ensemble des éléments de $E$ qui n'appartiennent pas à $A$ . Justifier que $\mathrm{Card}(\overline{A})=32$ .

On remarquera que $A$ et $\overline{A}$ sont disjoints et que leur réunion est $E$ .

Corrigé

1. Le principe additif donne : $\mathrm{Card}(A\cup B)=15+12-5=\boxed{22}$

2. Les deux ensembles étant disjoints, $\mathrm{Card}(A\cap B)=0$ : $\mathrm{Card}(A\cup B)=20+13=\boxed{33}$

3. On isole l'intersection dans la formule : $\mathrm{Card}(A\cap B)=\mathrm{Card}(A)+\mathrm{Card}(B)-\mathrm{Card}(A\cup B) =25+22-40=\boxed{7}$

4. Tout élément de $E$ appartient à $A$ ou à $\overline{A}$ , mais jamais aux deux : ces deux ensembles sont disjoints et leur réunion est $E$ tout entier. Le principe additif dans le cas disjoint donne donc : $\mathrm{Card}(E)=\mathrm{Card}(A)+\mathrm{Card}(\overline{A})$

\mathrm{Card}(\overline{A})=50-18=\boxed{32}

Cette dernière égalité, $\mathrm{Card}(\overline{A})=\mathrm{Card}(E)-\mathrm{Card}(A)$ , est le fondement de toutes les questions du type « au moins un… » : il est souvent bien plus simple de compter ce que l'on ne veut pas.

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Dans l'édifice

Ensembles finis et principe des tiroirs

Thèmes

cardinal, réunion et intersection

Notions

cardinal, ensemble fini