Exercice 43

1. Notons $U$ le nombre de pas en avant parmi les $n$ premiers. Alors $S_{n}=U-(n-U)=2U-n$, avec $0\leqslant U\leqslant n$. Donc $-n\leqslant S_{n}\leqslant n$, et $S_{n}-n=2(U-n)$ est pair : $\boxed{S_{n}\text{ a la parité de } n \text{ et } |S_{n}|\leqslant n.}$

2. Le nombre $U$ de pas en avant compte les succès de $2\ell$ épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$ : il suit la loi binomiale $\mathcal{B}(2\ell\,;p)$. Or $S_{2\ell}=2j\iff 2U-2\ell=2j\iff U=\ell+j$, d'où : $$\boxed{P(S_{2\ell}=2j)=\binom{2\ell}{\ell+j}p^{\ell+j}q^{\ell-j}}$$

3. Pour $j=0$, $P(S_{2\ell}=0)=\binom{2\ell}{\ell}(pq)^{\ell}$, qui est maximal lorsque $pq=p(1-p)$ l'est. Ce trinôme atteint son maximum $\frac{1}{4}$ en $\boxed{p=\frac{1}{2}}$.

4. D'après l'exercice 34 du chapitre 7, $\binom{2\ell}{\ell}\leqslant 2^{2\ell}=4^{\ell}$. Donc : $$\boxed{P(S_{2\ell}=0)\leqslant 4^{\ell}(pq)^{\ell}=(4pq)^{\ell}}$$

5. On a $1-4pq=(p+q)^{2}-4pq=(p-q)^{2}>0$ si $p\neq q$, c'est-à-dire si $p\neq\frac{1}{2}$. Donc $0<4pq<1$, et $(4pq)^{\ell}\to 0$ comme suite géométrique. Le théorème des gendarmes donne $\boxed{P(S_{2\ell}=0)\to 0}$.

6. Pour $p=\frac{1}{2}$, la majoration précédente ne donne plus que $1$. Mais $P(S_{2\ell}=0)=\binom{2\ell}{\ell}\frac{1}{4^{\ell}}=\frac{1\times 3\times\cdots\times(2\ell-1)} {2\times 4\times\cdots\times(2\ell)}$ (exercice 42 du chapitre 9, question 3). Notons $A_{\ell}=\frac{2\times 4\times\cdots\times(2\ell)}{3\times 5\times\cdots\times(2\ell-1)}$, de sorte que $P(S_{2\ell}=0)=\frac{1}{A_{\ell}}$. La question 7 de cet exercice donne $\frac{A_{\ell}^{2}}{2\ell+1}\to\frac{\pi}{2}$, donc $A_{\ell}^{2}\to+\infty$, puis $A_{\ell}\to+\infty$ et $\boxed{P(S_{2\ell}=0)\to 0}$. Plus précisément, $P(S_{2\ell}=0)$ est proche de $\frac{1}{\sqrt{\pi\ell}}$ : pour $\ell=50$, on trouve $0{,}0796$ contre $\frac{1}{\sqrt{50\pi}}\approx 0{,}0798$.

Cette figure montre trois marches de $60$ pas, obtenues par simulation : deux avec $p=\frac{1}{2}$ (en bleu ardoise et en ocre), qui oscillent autour de $0$ et y reviennent, et une avec $p=0{,}6$ (en violet), qui dérive vers le haut, autour de la droite d'équation $y=0{,}2\,n$ représentant $E(S_{n})=n(p-q)$.

Interprétation : lorsque $p\neq\frac{1}{2}$, la marche dérive et la probabilité d'être en $0$ décroît géométriquement. Lorsque $p=\frac{1}{2}$, elle décroît beaucoup plus lentement, comme $\frac{1}{\sqrt{\ell}}$ : la marche reste près de $0$ à l'échelle $\sqrt{n}$, comme l'annonçait l'exercice 37, sans être exactement en $0$ à un instant donné.